MRB常数

这篇文章需要做更多的工作。

请帮助扩展它！

这个MRB常数，以以下名称命名马文·雷·伯恩斯，是一个数学常数对此没有闭式表达式已知。不知道MRB常数是否为代数的或超越的也不知道是不是理性的或不合理的然而，它的计算精度和简单连分式的项已超过6000000位，没有数字的终止或明显的周期。

马文·雷·伯恩斯（Marvin Ray Burns）于1999年发表了他对常数的发现。在与同事西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）核实这样一个常数尚未被发现或至少尚未被广泛公布之前，伯恩斯将该常数称为根常数的“rc”。在普劳夫的建议下，常数被重命名为马文·雷·伯恩斯的常数，然后在1999年被缩短为“MRB常数”。

定义

MRB常数与以下振荡有关发散级数

${\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}（-1）^{k}~k^{1/k}=\sum_{k=1}^{\ infty{（-1$

它部分和

${\显示样式s_{n}=\sum_{k=1}^{n}（-1）^{k}~k^{1/k}}$

是有界的在闭合区间内

${\displaystyle\left[\liminf_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}（-1）^{k}~k^{1/k}，\limsup_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}$

自从${\displaystyle\scriptstyle\lim_{k\to\infty}k^{1/k}\，\to\，1}$，其中MRB常量定义为

${显示样式C_{rm{MRB}}\equiv\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}（-1）^{k}~k^{1/k}=\lim_{n\t o\inffy}\sum_{k=1}^{2n}）^{k}~k^{1/k}.}$

MRB常数可以由以下无限和明确定义

${显示样式C_{\rm{MRB}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}（-1）^{k}~k^{1/k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left\{（2k）^{1/（2k）}-（2k-1）^{1/1（2k）^{1/（2k$

${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}（-1）^{k}~（k^{1/k}-1）}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\lim_{k\to\infty}k^{1/k}-1\，\to\，0}$，从而满足了交替级数.

在计算MRB常数的数值近似值时，应使用加速方法，因为可以证明必须按以下顺序求和${\显示样式\脚本样式10^{n+1}}$的迭代次数${\显示样式\脚本样式（-1）^{n}~（n^{1/n}-1）}$得到${\显示样式\脚本样式n}$MRB常量的精确数字。然而，使用Cohen-Villegas-Zagier交替级数算法的收敛加速，只需100次迭代即可计算出前60位数字。

C类_{物料回收箱}

MRB常数的十进制展开式为

$｛\displaystyle C_｛\rm｛MRB｝｝=0.18785964246206712024851793405427323005590309490013\ldots｝$(A037077号)

这个单连分式MRB常数的展开式为

${\displaystyle C_{\rm{MRB}}=0+{\cfrac{1}{5+{\crac{1}}{3+{\cfras{1}{10+{\ cfrac{1}{1+{\ frac{1{1+}{4+{\$

给出顺序

{0, 5, 3, 10, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 12, 2, 17, 2, 2, 1, 1, 17, 1, 6, 4, 1, 3, 3, ...}

最初的几个收敛MRB常数的简单连分式展开式为（参见对话页面用于模式调查）

$显示样式{\big\{}{\tfrac{0}{1}}，{\tfrac{1}{5}}、{\tfraca{3}{16}}和{\tfraca{31}{165}}{653}{3476}}，{\tfrac{1012}{5387}}，{\tfrac{15327153}{81588322}}，{\tfrac{31531105}{167843953}}{\tfrac{15327153}{81588322}}，{\tfrac{31531105}{167843953}}$

功率塔的极限（偶数项）C类_{物料回收箱}

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\underset{i=1}{\overset{2n}{\rm{E}}}c=\lim_}n\to\infty}\ undersbrace{c^{c^}c^{.^{}}}}{2n{}}$

哪里${\显示样式\脚本样式c}$是MRB常数${\显示样式\脚本样式2n}$是签字权高度。

的功率塔极限（偶数项）的十进制扩展C类_{物料回收箱}

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\underset{i=1}{\overset{2n}{\rm{E}}}c=\lim_}n\to\infty}\ undersbrace{c^{c^}c^{.^{}}}}{2n{=0.46192144016441145408588\ldots}$

A052110型极限的十进制展开${\displaystyle\scriptstyle\lim_{n\to\infty}\下大括号{c^{c^}c^{c.^{.^{}}}}{{2n}}$（使用偶数个术语），其中${\显示样式\脚本样式c}$是中定义的MRB常量A037077号.

{4, 6, 1, 9, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 6, 4, 4, 1, 1, 4, 4, 5, 4, 0, 8, 5, 8, 8, 6, 4, 2, 6, 1, 4, 1, 9, 4, 5, 7, 8, 6, 3, 5, 0, 2, 8, 2, 8, 0, 1, 3, 6, 4, 8, 8, 2, 2, 8, 4, 4, 3, 4, 1, 6, 2, 9, 2, 7, 3, 5, 8, 9, ...}

C类_{物料回收箱}- 1

MRB常数-1的十进制展开式为

${\显示样式C_{\rm{MRB}}-1=-0.8121403575379328797514820659\ldots}$

这个单连分式MRB常数-1的展开式为

${\displaystyle C_{\rm{MRB}}-1=-1+{\cfrac{1}{5+{\crac{1}}{3+{\cfrac{1}{10+{\ cfrac{1}{1+{\fcrac{1{1+}\cfrac}1}{4+{\cfrac{1{1}{1++$

给出顺序

{-1, 5, 3, 10, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 12, 2, 17, 2, 2, 1, 1, 17, 1, 6, 4, 1, 3, 3, ...}

前几个收敛点由MRB常数-1的简单连分式展开式得出

$显示样式{\tfrac{-1}{1}}、{\tfrac{-4}{5}}，{\tfraca{-13}{16}}ots}$

C类_{物料回收箱}- 1/2

这个塞萨罗总和和Levin u变换和给出两个极限点的中点

${\displaystyle{\frac{（C_{\rm{MRB}}）+（C_}\rm{MRB}}-1）}{2}}=C_{\ rm{MRB}}-{\ frac{1}{2{}}}$

MRB常数的十进制展开式-${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{2}}}$是

${\显示样式C_{\rm{MRB}}-{\压裂{1}{2}}=-0.312140357537932897514820659\ldots}$

这个单连分式MRB常数的展开式-${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{2}}}$是

$C_{\rm{MRB}}-{\frac{1}{2}}=-1+{\frac{1}}{1+{\cfrac{1}{2+{\ cfrac{1}{4+{\crac{1}[1+{\ frac{1}{10+{\$

给出顺序

{-1, 1, 2, 4, 1, 10, 20, 2, 2, 2, 7, 1, 2, 2, 1, 2, 4, 9, 1, 1, 2, 4, 4, 1, ...}

系列集成模拟

级数的积分模拟是一个振荡性质的复值积分

${\显示样式I（2n）=\int_{1}^{2n}（-1）^{x}~{\sqrt[{x}]{x}}~dx=\int_{1}^{2n}e^{i\pix}~x^{1/x}~dx，\quadn\in\mathbb{Z}.}{2n}e^{i\pix}~x^{1/x}~dx，\quadn\in\mathbb{Z}.}$

在连续极限下不收敛$｛\displaystyle\scriptstyle n\，\to\，\infty｝$，积分序列的极限，积分差在上限${\显示样式\脚本样式2n}$存在。

紫外线极限M（M）_我振荡积分序列的

这个紫外线极限振荡积分序列的定义为

$｛\displaystyle M_｛I｝\equiv\lim _｛n\to\infty｝I（2n），quad n\in\mathbb｛Z｝。｝$

并由评估理查德·马塔尔.

实部和虚部

的十进制扩展实部属于M（M）_我是

${\显示样式\Re（M_{I}）=0.0707760393115288035395\ldots}$

这个单连分式对于实部属于${\显示样式\脚本样式M_{I}}$是

${\displaystyle\Re（M_{I}）=0+{\cfrac{1}{14+{\crac{1}}{7+{\frac{1}{1+{\ cfrac{1\}{2+{\cfrac}1}{1+}{23+{\$

给出顺序

{0, 14, 7, 1, 2, 1, 23, 2, 1, 8, ...}

的十进制扩展虚部属于M（M）_我是

${\显示样式\Im（M_{I}）=-0.68400038943793212918\点}$

这个单连分式对于虚部属于${\显示样式\脚本样式M_{I}}$是

${\displaystyle\Im（M_{I}）=-1+{\cfrac{1}{3+{\cfac{1}}{6+{\fcrac{1{13+{\crac{1{41+{\ cfrac{1\}{112+{\cfrac}1}{1+{\ crac{1\{25+{\$

给出顺序

｛-1，3，6，13，41，112，1，25，1，1，…｝

的绝对值M（M）_我

的十进制展开式绝对值 $｛\displaystyle\scriptstyle M_｛I｝｝$是

${\显示样式|M_{I}|=0.687652368927694369\ldots}$(A157852号)

这个单连分式对于的绝对值${\显示样式\脚本样式M_{I}}$是

${\displaystyle|M_{I}|=0+{\cfrac{1}{1+{\crac{1}}{2+{\frac{1}{4+{\flac{1{1+}\cfrac}{24+{\fcrac{1{1+{\ cfrac{1}{4+}\crac}}{ddots}}}}{}}}$

给出顺序

{0, 1, 2, 4, 1, 24, 1, 4, 1, 2, 4, 4, 1, 8, ...}

系列减去系列的集成模拟

通过类推欧拉–马斯切罗尼常数

${\displaystyle\gamma\equiv\lim_{n\to\infty}\left\{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\int_{1}^{n}{\frac{dx}{x}}\right\}=\gamma_{1/x\}|{1}^{n\to\ infty{}}}}$

我们可以定义

${\displaystyle\gamma_{\{e^{i\pix}~x^{1/x}\}|{1}^{2n\to\infty}}\equiv\lim_{n\to\infty}\left\{sum_{k=1}^{2 n}（-1）^{k}~k^{1/k}-\int_{1}^{2n}我（2n）\right\}，\quad n \in\mathbb{Z}，}{2n}我（2n）\right\}，\quad n \in\mathbb{Z}，}$

${\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\left\{\sum_{k=1}^{2n}e^{i\pik}~k^{1/k}-\int_{1}^{2n}e^{i\pix}~x^{1/x}~dx\right\}，\quadn\in\mathbb{Z}.}{2n}e^{i\pik}~k^{1/k}-\int_{1}^{2n}e^{i\pix}~x^{1/x}~dx\right\}，\quadn\in\mathbb{Z}.}$

$｛\displaystyle＝C_｛\rm｛MRB｝｝-M_｛I｝｝$

C类_{物料回收箱}-M（M）_我

的实际部分C类_{物料回收箱}-M（M）_我

的十进制扩展实部属于${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}-M_{I}}$是

${\显示样式\Re（C_{\rm{MRB}}-M_{I}）=0.117083603150538316709\ldots}$

这个单连分式对于实部属于${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}-M_{I}}$是

${\displaystyle\Re（C_{\rm{MRB}}-M_{I}）=0+{\cfrac{1}{8+{\frac{1{1}}{1+{\ cfrac{1}{5+{\ cfrac}1}{1++\ cfrac{1}{1+}$

给出顺序

{0, 8, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 5, 1, ...}

的虚拟部分C类_{物料回收箱}-M（M）_我

的十进制扩展虚部属于${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}-M_{I}}$是

${\显示样式\Im（C_{\rm{MRB}}-M_{I}）=0.68400038943793212918\ldots}$

这个单连分式对于虚部属于${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}-M_{I}}$是

${\displaystyle\Im（C_{\rm{MRB}}-M_{I}）=0+{\cfrac{1}{1+{\frac{1{2+{\crac{1}{6+{\ cfrac{1}{13+{\fcrac{1neneneep{41+{\chrac{1neneneei{112+{\frac{1}}{1+/{\cfac{1{{\ddots}}}}{}}}$

给出顺序

{0, 1, 2, 6, 13, 41, 112, 1, 25, ...}

的绝对值C类_{物料回收箱}-M（M）_我

的十进制展开式${\displaystyle\scriptstyle|C_{\rm{MRB}}-M_{I}|}$是

${\显示样式|C_{\rm{MRB}}-M_{I}|=0.693948919501972825\ldots}$

这个单连分式对于${\displaystyle\scriptstyle|C_{\rm{MRB}}-M_{I}|}$是

${\displaystyle|C_{\rm{MRB}}-M_{I}|=0+{\cfrac{1}{1+{\frac{1{2+{\crac{1}}{3+{\cfac{1{1}{1+}\cfrac}}{2+}\crac}1}{5+{\cfrac[1}{\ddots}}}}{}}}$

给出顺序

{0, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 5, 9, 1, 8, 29, ...}

2013年2月28日查询

似乎使用正则化发散级数

${\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}（-1）^{k}~（x*k^{1/k}+y*k）=\scriptstyle（C_{\rm{MRB}}-1/2）x-1/4y}$.

这里有任何帮助都会很好！

对于所有复z，s（n）的上限点=${\显示样式\sum_{k=1}^{n}（-1）^{k}~（k^{1/k}-z）}$是${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}}$.

对于所有实a，部分和s（n）=${\显示样式\sum_{k=1}^{n}（-1）^{k}~（k^{1/k}-a）}$有界，使其极限点形成区间[-1+${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}}$+a、，${\显示样式\脚本样式C_{\rm{MRB}}}$]长度为1-a。

MRB常数的各种形式

${\显示样式C_{\text{MRB}}}$

${\displaystyle=\sum_{k}^{\infty}\left（（2k）^{\frac{1}{2k}}-（2k-1）^{\frac{1}}\right）}$

${\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}（-1）^{n}\left（n^{\frac{1}{n}}-1\right）}$

${\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}（-1）^{n}\left（n^{\frac{x}{n}}-1\right）{\text{/.}}\，x\至25.65665403510586285599072958839{\text}，}$

${\displaystyle=\int_{0}^{\infty}{\text{csch}}（\pit）\Im\left（（1+it）^{\frac{1}{1+it}}\right）\，dt}$

${\displaystyle=\int_{0}^{\text{b}}{\text{csch}}（\pit）\Im\left（（1+it）^{\frac{1}{1+it}}\right）\，dt{\text}}\，{text{b{}}\至1.32379817612535131470834{\text{…，}}}$

${\displaystyle=\int_{0}^{\infty}{\text{csch}}（\pit）\Im\left（（1+it）^{\frac{x}{1+it}}\right）\，dt{\text{/.}}\，x\至25.65665403510586285599072958839{\text}…}}}，}$

${\displaystyle={\underset{k=1}{\overset{\infty}{-\sum}}}{\frac{（-1）^{k}}{k！}}\eta^{（k）}k}$ ${\displaystyle{\text{where}}\eta^{（k）}k{\text{表示位于}}k.}的Dirichlet eta函数的}}k{text{th导数$

${\displaystyle={\underset{k=1}{\overset{\infty}{-\sum}}}{\frac{c{k}}{k！}}\eta^{（k）}0{\text{/.}}c{k{=\sum_{j=1}^{\inffy}（-1）^{j} j个^{k-j}\左（{\开始{数组}{c} k个\\j\\end{array}}\right）=\{-1，-1,2,9,4，-95，-414,49100885521{\text{…}}\}{\text}其中}}\eta^{（k{j} j个^{k-j}\左（{\开始{数组}{c} k个\\j\\end{array}}\right）=\{-1，-1,2,9,4，-95，-414,49100885521{\text{…}}\}{\text}其中}}\eta^{（k$

证据就在这里。[1]

${\显示样式f（x）=（-1）^{x}\左（x^{1/x}-1\右）；{\text{CMRB}}=\Im\left（\int_{0}^{\infty}{\frac{2f（1-{text{it}}）}{e^{2\pit}-1}}\，dt\right）。}{\text{CMRB}}=\Im\left（\int_{0}^{\infty}{\frac{2f（1-{text{it}}）}{e^{2\pit}-1}}\，dt\right）。}$

${\显示样式g（x）=x^{1/x}；{\text{CMRB}}=i\int_{0}^{\infty}{\frac{g（1-it）-g（1+it）}{\exp（\pit）-\exp{\text{CMRB}}=i\int_{0}^{\infty}{\frac{g（1-it）-g（1+it）}{\exp（\pit）-\exp$

MRB常数的多种积分形式

让

{{x=25.656654035105862855990729…和{u=-3.20528124009334715662802858}，{u=-1.975955817063408761652299}，{u=-1.028853359952178482391753}，{u=0.0233205964164237996087020}，{u=1.0288510656792879404912390}，{u=1.9759300365560440110320579}，{u=3.3776887945654916860102506}，{u=4.2186640662797203304551583}或

${\显示样式u=\infty}$}

或

让{{x=1和{u＝2.451894470180356539050514}，{u=1.333754341654332447320456}或

$｛\displaystyle u＝infty｝$}

然后

${\displaystyle\int_{0}^{u}{\text{csch}}（\pit）\Im\left（（1+it）^{\frac{x}{1+it}}\right）\，dt=\scriptstyleC_{\rm{MRB}}.}$

MRB常数的多种恰当积分形式

${\显示样式gx=x^{1/x}；｛\text｛CMRB｝｝＝\sum_｛k=1｝^｛infty｝（-1）^｛k｝（gk-1）｝｛\text｛CMRB｝｝＝\sum_｛k=1｝^｛infty｝（-1）^｛k｝（gk-1）｝$

${\显示样式w={\压裂{i（t-b）}{t-a}}；}$

${\显示样式p=g（w+1）\csc（\pi w）}$

${\显示样式{\text{CMRB}}=\int_{a}^{b}{\frac{（b-a）\Re（p）}{（t-a）^{2}}\，dt，a，b\in\mathbb{C}.}$

MRB常数（CMRB）与其集成模拟量（CMKB）之间的非平凡关系

设g（x）=x^{1/x}。

${\displaystyle\mathrm{CMRB}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits\{N=1}^{2N}（-1）^{n} 克（n） =\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits\{0}^{2N}{\frac{\Img（1+it）}{\sinh（\pit）}}dt.}{n} 克（n） =\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits\{0}^{2N}{\frac{\Img（1+it）}{\sinh（\pit）}}dt.}$证据就在这里。[2]

${\displaystyle\mathrm{CMKB=M1}=\lim\limits_{N\to\infty}\int\limits\{1}^{2N}（-1）^{x} 克（x） dx=（-i）\lim\limits_{N\to\infty}\int\limits\{0}^{2N}{frac{g（1+it）}{exp（\pit）}}dt}{x} 克（x） dx=（-i）\lim\limits_{N\to\infty}\int\limits\{0}^{2N}{frac{g（1+it）}{exp（\pit）}}dt}$

$｛\displaystyle=\lim\limits_｛N\to\infty｝[int\limits_｛1｝^{2N}电子^｛i \pi t｝g（t）dt=（-i）\lim \limits _｛N \ to \ infty｝\ int \limits _｛0｝^{2N}电子^{i^{2}\pit}g（1+it）dt.}{2N}电子^｛i \pi t｝g（t）dt=（-i）\lim \limits _｛N \ to \ infty｝\ int \limits _｛0｝^{2N}电子^{i^{2}\pit}g（1+it）dt.}$

证据就在这里。[3].

以下是Mathematica检查这些公式的结果：

清除[g]；g[x_]=x^（1/x）；CMRB=N[NSum[（-1）^N（g[N]-1），{N，1，无限}，方法->“交替标志”，工作精度->57]，30](* 0.187859642462067120248517934054*)g[x_]=x^（1/x）；CMRB-NIntegrate[Im[g[1+It]/（Sinh[Pit]）]，{t，0，无限}，工作精度->30](* 0.*10^-31*)g[x_]=x^（1/x）；定时[MKB=N[NIntegrate[Exp[I Pi t]（g[t]），{t，1，Infinity}，工作精度->57]，30]-I/Pi](*{0.03125, 0.070776039311528803539528021830-0.68400038943793229182744459993 I}*）g[x_]=x^（1/x）；定时[MKB-（N[NIntegrate[（-1）^t（g[t]）），{t，1，无限}，工作精度->57，最大递归->3500]，30]-I/Pi）]//安静（{30.8438，6.3*10^-29-6.00*10^-2-28 I}*）g[x_]=x^（1/x）；定时[MKB-（-N[I N积分[（g[（1+t I）]）/（Exp[Pit]），{t，0，无穷}，工作精度->57]+I/Pi，30]）]（*{0.046875，0.*10^-31+0.*10^-301I}*）g[x_]=x^（1/x）；定时[MKB-（-N[I N积分[Exp[I^2 Pit]（g[1+t I]），{t，0，无限}，工作精度->57]+I/Pi，30]）]（*{0.03125，0.*10^-31+0.*10^-301I}*）

还有另一种联系；接下来就是。

${\displaystyle{\text{在下面的等式中，大写}}\Im{\text}表示虚部，小写i表示虚部单位，即sqrt（-1）}}。}$ ${\显示样式g（x）=x^{1/x}{\文本{和}}f（x）=（-1）^{x}（g（x）-1）}$

$｛\displaystyle｛\text｛CMRB｝｝｝=\sum_｛n=1｝^｛\infty｝fn=i\int _｛0｝^｛\infty｝｛\frac｛g（1-it）-g（1+it）｝｛e^｛\pi t｝-e^｛-\pi t｝｝｝｝\，dt=\int _｛0｝^｛\infty｝｛\frac｛2f（1-it）｛e ^｛2πt｝-1｝｝｝\，dt。｝$

${\displaystyle{\text{Re（MKB）}}==i{\underset{N\to\infty}{\int}}_{0}^{2N}{\frac{g（1-it）-g（1+it{分形{f（1+it）+f（1-it）}{e^{2\pit}-1}}，dt}$ ${\displaystyle{\text{NoMKB}}=\Im\int_{0}^{\infty}{\frac{f（1-it）-f（1+it）}{e^{2\pit}-1}}dt.}$

${\显示样式{\text{NoMKB+Re（MKB）}}=CMRB.}$

${\displaystyle{\text{Im（MKB）}}=-i{\underset{N\to\infty}{\text}lim}}}\int_{0}^{2N}{\frac{g（it+1）+g（1-it）}{2e^{\pit}}\，dt.}$

这导致了以下情况。

${\显示样式f（x）=e^{i\pix}\左（1-（x+1）^{\frac{1}{x+1}}\右），}$

${\显示样式{\text{CMRB}}=\sum_{n=0}^{\infty}fn，}$

${\displaystyle{\text{M2}}=\int_{0}^{\infty}英尺$

${\显示样式{\text{part}}=\int_{0}^{i\infty}{\frac{{text{Im}}（2（f（-t））+（f（/t）-ft）}{-1+e^{-2i\pit}}}，dt，}$

${\显示样式（1-i）{\text{CMRB}}={\text}M2}}-{text{part}}.}$

另请参见

• 格拉舍-金克林常数
• 钦钦常数
• Khinchin-Lévy常数

外部链接

• 马文·雷·伯恩斯，MRB常量.