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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A282628号 按行读取的三角形T(n,k):n行给出了n>=0时用于{Sum{j=1..m}(1+2*j)^n}{m>=0}的指数母函数的指数分子多项式的系数。 1

%我

%第1,1,1,1,3,2,1,9,16,8,1,27,98120,48,1,8154412321152384,1243节,

%电话:28821080017760134403840,17291489687128224640289920184320,

%U 46080,1218775938669480254528498624052953602903040645120,165613840644990112269176327520486411870208017099205160960010321920

%N三角形T(N,k)按行读取:N行给出了N>=0的指数分子多项式的系数,用于{Sum{j=1..m}(1+2*j)^N}{m>=0}的指数母函数。

%C为了得到一个三角形,添加了T(-1,0)=1的n=-1行,并且没有使用。

%当n>=0时,指数行多项式是R(n,t)=和{k=0..n+1}t(n,k)*t^k/k!。

%e.g.f.Eodd(n,t)=和{m>=0}Sodd(n,m)*t^m/m!其中Sodd(n,m)=和{j=0..m}(1+2*j)^n是R(n,t)*exp(t),对于n>=0。

%这个三角形是a06187的e.g.f.伴随,a06187给出了{Sodd(n,m)}{m>=0}的o.g.f.s的行多项式的系数,它们是

%C G(n,x)=和{k=0..n}a06187(n+1,k+1)*x^k/(1-x)^(n+2),对于n>=0。

%C拉普拉斯逆变换L^[-1]用于从A060187获得当前三角形。为此,使用以下重新排序标识:

%C(Sum{j=0..n}a(n,j)*x^j)/(1-x)^(n+1)=和{k=0..n}(b(n,k)*x^k/(1-x)^(k+1)),其中b(n,k)=和{p=0..min(k,n)}二项式(n-p,k-p)*a(n,p),对于n>=0。这可以通过与(1-x)^(n+1)相乘并使用二项式定理首先求出a(n,j)=和{i=0..min(n,j)}(-1)^(j-i)*二项式(n-i,j-i)*b(n,i)。然后利用Graham等人的二项式恒等式(5.24)进行了反演。169,用a来求b。

%这最终得到了拉普拉斯反变换公式L^[-1]{(Sum{j=0..n}a(n,j)*x^j)/(1-x)^(n+1)}=exp(t)*Sum{k=0..n}b(n,k)*t^k/k!,对于n>=0,使用给定的b(n,k)表达式。然后将其应用于上面给出的o.g.f.g(n,x)。

%C On可以从S(n,m)=Sum{j=1..n}j^n两种方式得到Sodd(n,m)=S(n,2*(m+1))-2^n*S(n,m+1)=S(n,2*m+1)-2^n*S(n,m)。

%C三角形的第一列是A000012、A000244、2*A00559、8*A017389、48*A028060。。。

%n>=0时的对角线为A000165。这与下面给出的T(n,k)的第二个公式兼容。

%关于n=0..4的生成序列,见A000027、A000290、A000447、A002593、A002309。

%C(具有不同的偏移量)。

%D罗纳德·L·格雷厄姆、唐纳德·E·克努特和奥伦·帕塔什尼克,《混凝土数学》,第二版。;艾迪生·韦斯利,1994年,p。169,等式(5.24)。

%对于k>n+1,T(-1,0)=1,F T(n,k)=0,以及

%F T(n,k)=和{j=0..min(n+1,k)}二项式(n+1-j,k-j)*a06187(n+1,j+1),对于n>=0和k=0..n+1。

%F T(n,k)=和{j=0..k}(-1)^(k-j)*二项式(k-1,j-1)*(2*j+1)^n,对于n>=0和k=0..n+1(如果这里放二项式(-1,-1)=1)。

%e三角形T(n,k)开始(n=-1行不使用):

%电子邮件0 1 2 3 4 5 6 7 8

%e-1:1

%e+0:11

%e+1:1 3 2

%e+2:1 9 16 8

%电话+3:127 98 120 48

%电话+4:1 81 544 1232 1152 384

%电话+5:1 243 2882 10800 17760 13440 3840

%电话+6:1 729 14896 87128 224640 289920 184320 46080

%电话+7:1 2187 75938 669480 2544528 4986240 5295360 2903040 645120

%e。。。

%e行n=8:1 6561 384064 4990112 26917632 75204864 118702080 107089920 51609600 10321920,

%e行n=9:1 19683 1933442 36467040 2721939360 1042594560 2295175680 3030773760 2376622080 1021870080 185794560。。。

%e n=0:Eodd(0,t)=R(0,t)*经验(t)=(1+1*t)*经验(t)。G(0,x)=1/(1-x)^2。

%e n=2:Eodd(3,t)=(1+9*t+16*t^2/2!+8*t^3/3!)*exp(t),G(2,x)=(1+6*x+x^2)/(1-x)^4。

%t Table[Sum[(-1)^(k-j)二项式[k-1,j-1](2 j+1)^n,{j,0,k}],{n,-1,8},{k,0,n+1}]//扁平化(*u Michael De Vlieger_2017年3月17日*)

%o(PARI){for(n=-1,8,for(k=0,n+1,print1)(如果(k==0,1,sum(j=0,k,(-1)^(k-j)*二项式(k-1,j-1)*(2*j+1)^n)),“,”);print(););}\\\\\\ Indranil Ghosh,2017年3月18日

%Y比照A060187、A000165(对角线)。

%Y列:A000012、A000244、2*A00559、8*A017389、48*A028060。

%A0027、A0027、A0027、A0027不同序列生成。

%不,简单,表

%0-1,5

%2017年3月14日

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上次修改时间:2021年9月17日22:06 EDT。包含347489个序列。(运行在oeis4上。)