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%I#83 2023年2月20日16:30:55
%S 1,0,1,0,1,1,0,2,3,1,0,5,11,6,1,01,15,45,35,10,10,5,5210,85,15,1，
%电话：020310291330700175,21,1,087756358946588451890322,28,1,0，
%电话：4140333876391750358200554410546,36,1,021147212535484140450905214515578559240870,45,1
%N行读取三角形，贝尔数的贝尔变换。
%C考虑序列S0->T0->S1->T1->S2->T2->。。。这里，Sn->Tn表示将序列Sn映射到链接中定义的三角形Tn的Bell变换，Tn->S{n+1}是将三角形与其行和序列相关联的运算符。如果
%C S0=A000012=<1,1,1，…>然后
%C T0=A048993#斯特林子集数，
%C S1=A000110#钟号，
%C T1=A264428#贝尔数的贝尔变换，
%C S2=A187761#二阶Bell数，
%C T2＝A264430#二阶Bell数的Bell变换，
%C S3=A264432#三阶贝尔数。
%C这个构造与排列树和A179455密切相关。Sn是A179455_col（n+1）加上A179455 _ diag（k）=k！对于k<=n。换句话说，Sn“收敛”到n！对于n->oo。
%C给定一个序列（s（n））n>=0，s（0）=0，例如f.B（x）=Sum_{n>=1}s（n！，则与s（n）相关联的Bell矩阵等于属于指数Riordan群的Lagrange子群的指数Riorden数组[1，B（x）]。从Bell矩阵中省略第一行和第一列将生成指数Riordan数组[d/dx（B（x），B（x_Peter Bala，2016年6月7日
%H G.C.Greubel，n表，n=0..1325的a（n）</a>
%H Peter Luschny，<a href=“https://oeis.org/wiki/用户：Peter_Luschny/BellTransform“>贝尔变换</a>
%H Peter Luschny，<a href=“http://www.oeis.org/wiki/用户：Peter_Luschny/PermutationTrees“>排列树</a>
%F发件人_Peter Bala_，2016年6月7日：（开始）
%F例如：exp（t*B（x）），其中B（x）=积分{u=0..x}exp（exp（u）-1）du=x+x^2/2！+2*x^3/3！+5*x^4/4！+15*x^5/5！+52*x^6/6！+。。。。
%F行多项式递推：R（n+1，t）=t*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*Bell（k）*R（n-k，t），其中R（0，t）=1。（结束）
%e三角形开始：
%电子[1]
%e[0，1]
%e[0，1，1]
%e[0，2，3，1]
%e[0，5，11，6，1]
%e[0，15，45，35，10，1]
%e[0，52，205，210，85，15，1]
%e[0，203，1029，1330，700，175，21，1]
%电子[0，877，5635，8946，5845，1890，322，28，1]
%p#以矩阵形式计算序列。
%p BellMatrix:=proc（f，len）局部T，A；A:=[序列（f（n），n=0..透镜-2）]；
%p T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则k^n其他
%p加（二项式（n-1，j-1）*T（n-j，k-1）*A[j]，j=1..n-k+1）fi结束；
%p矩阵（len，（n，k）->T（n-1，k-1），shape=三角形[下]）端：
%p贝尔矩阵（n->组合：-贝尔（n），9）；#_Peter Luschny_，2016年1月21日
%p#替代，使用_Peter Bala_的递归：
%p R:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则为1
%p t*加法（二项式（n-1，k）*组合：-贝尔（k）*R（n-k-1，t），k=0..n-1）f结束：
%p T_row:=n->seq（系数（R（n），T，k），k=0..n）：
%p序列（打印（T_row（n）），n=0..8）；#_Peter Luschny_，2016年6月9日
%t BellMatrix[f_Function|f_Symbol，len_]：=使用[{t=Array[f，len，0]}，Table[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；
%t行=11；
%t M=BellMatrix[BellB，行]；
%t表[M[[n，k]]，{n，1，rows}，{k，1，n}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2016年1月21日，2018年7月14日更新*）
%t带有[{r=8}，扁平[Table[BellY[n，k，BellB[Range[0，r]]，{n，0，r}，{k，0，n}]]（*_Jan Mangaldan_，2016年5月22日*）
%o（圣人）
%o#以下函数在各种其他序列中引用。
%o定义bell_transform（n，a）：#partition_based
%o行=[]
%o fn=阶乘（n）
%对于k in（0..n）：
%o结果=0
%o对于分区（n，长度=k）中的p：
%o阶乘乘积=1
%o power_factorial_product=1
%o对于零件，在p.to_exp_dict（）.items（）中计数：
%o factorial_product*=阶乘（计数）
%o power_factorial_product*=阶乘（部分）**计数
%o系数=fn//（阶乘乘积*power_factorial_product）
%o结果+=系数*prod（对于p中的i，[a[i-1]）
%o行追加（结果）
%o返回行
%o定义bell_matrix（发电机，尺寸）：
%o G=[范围（dim）中k的发电机（k）]
%o行=λn：bell_transform（n，G）
%o返回矩阵（ZZ，[row（n）+[0]*（dim-n-1）for n in srange（dim）]）
%o def inverse_bell_matrix（生成器，调光）：
%o G=[范围（dim）中k的发电机（k）]
%o行=λn:bell_transform（n，G）
%o M=矩阵（ZZ，[行（n）+[0]*（dim-n-1），表示范围（dim）中的n））。逆（）
%o返回矩阵（ZZ，dim，lambda n，k:（-1）^（n-k）*M[n，k]）
%o bell_numbers=[范围（11）中n的总和（bell_transform（n，[1]*10））]
%o对于范围（11）中的n：打印（bell_transform（n，bell_numbers））
%o（PARI）
%o bell_matrix（f，len）={my（m=矩阵（len，len；
%o表示（n=1，len-1，m[n+1，2]=f（n-1））；
%对于（n=0，len-1，对于（k=1，n，
%o m[n+1，k+1]=总和（j=1，n-k+1，二项式（n-1，j-1）*m[n-j+1，k]*m[j+1,2]））；
%o回流（m）
%o}（o）
%o f（n）=polceoff（总和（k=0，n，prod（i=1，k，x/（1-i*x）），x^n*o（x））），n）；
%o bell_matrix（f，9）\\_Peter Luschny_，2016年1月24日
%o（Python）
%o从functools导入缓存
%o从数学导入comb作为二项式
%o def BellMatrix（f，尺寸）：
%o A=[f（n）表示范围内的n（尺寸-1）]
%o@缓存
%o定义T（n，k）：
%o如果k==0：返回k**n
%o返回金额(
%o二项式（n-1，j）*T（n-j-1，k-1）*A[j]
%对于范围（n-k+1）内的j，为o）
%o返回[[T（n，k）表示范围（n+1）中的k]表示范围（大小）中的n]
%o@缓存
%o定义b（n，k=0）：返回n<1或k*b（n-1，k）+b（n-l，k+1）
%o打印（BellMatrix（b，9））#_Peter Luschny_，2022年6月14日
%Y参见A000012、A000110、A000217、A000914、A027801、A048993、A051836、A179455、A187761（行总和）、A264430、A264432、A265312。
%K nonn，表
%0、8
%A _彼得·卢什尼，2015年11月13日
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