%I#3 2015年4月19日08:48:24

%S 1,1,13,616417361978851649229308546896428439371661，

%电话：3899908881891099327134844933548321788342511002846829430877，

%电话：387486984911220301145372924043965484957969528588879222803324798823963960995868160131909126487291680319385351183861577845151704001

%例如：总和{N>=0}exp（（2*N+1）*x）*（1-x^（2*N+1）*exp（-（4*N+2）*x。

%F例如：C（x）+S（x）其中C（x）^2-S（x）^2=[Sum_{n>=0}x^（n*（n+1））]^4和

%F（a）C（x）=和{n>=0}余弦（（2*n+1）*x）*x^n/（1+x^（2*n+1）），

%F（b）S（x）=和{n>=0}sinh（（2*n+1）*x）*x^n/（1-x^（2*n+1））。

%F a（n）=A257214（n）+A257215（n）。

%例如：A（x）=1+x+13*x^2/2！+61*x^3/3！+641*x^4/4！+7361*x^5/5！+。。。

%e其中A（x）等于对偶Lambert级数之和

%e（a）C（x）=余弦（x）/（1+x）+余弦（3*x）*x/。。。

%e（b）S（x）=正弦（x）/（1-x）+正弦（3*x）*x/（1-x^3）+正弦。。。

%e更明确地，

%e（a）C（x）=1+5*x^2/2！+24*x^3/3！+337*x^4/4！+3280*x^5/5！+。。。

%e（b）S（x）=x+8*x^2/2！+37*x^3/3！+304*x^4/4！+4081*x^5/5！+。。。

%e这样

%e C（x）^2-S（x）*2=[1+x^2+x^6+x^12+x^20+…+x^（n^2+n）+…]^4

%e C（x）^2-S（x）（^2）=1+4*x^2+6*x^4+8*x^6+13*x^8+12*x^10+14*x^12+24*x ^14+18*x^16+20*x^18+32*x ^20+。。。

%e相关系列。

%e A（x）*A（-x）=1+24*x^2/2！+1808*x^4/4！+283008*x^6/6！+85053312*x^8/8！+。。。

%平方（A（x）*A（-x））=1+12*x^2/2！+472*x^4/4！+56544*x^6/6！+15730432*x^8/8！+7023569920*x^10/10！+4635702211584*x ^12/12！+。。。

%o（PARI）{a（n）=局部（X=X+X*o（X^n），a=1）

%o表示（n=0,30，打印1（a（n），“，”）

%o（PARI）/*作为双Lambert系列（A257214，A257215）的总和：*/

%o{A257214（n）=局部（A=和（m=0，n，cosh（（2*m+1）*x+x*o（x^n））*x^m/（1+x^（2*m+1）））；n！*polcoff（A，n）}

%o{A257215（n）=局部（A=和（m=0，n，sinh（（2*m+1）*x+x*o（x^n））*x^m/（1-x^（2*m+1）））；n！*polcoff（A，n）}

%o{a（n）=A257214（n）+A257215（n）}

%o表示（n=0,30，打印1（a（n），“，”）

%Y参考A257214和A257215。

%K nonn公司

%0、3

%A·保罗·D·汉纳，2015年4月19日