%I#20 2023年2月12日22:33:04

%S-1,0，-1,0，-1.0，-1，-1，-2，-1，-1,0-1,0，-1，-1-，-2，-2，-3，-2，-2-，-1，

%T-1,0，-1，-1，-2，-2，-1，-2-，-1，-2，-1，-1-，-2，-2-，

%U-2，-3，-2，-2，-1，-1,0，-1，-1，-2，-2-，-3，-2-

%N对于从k（N）={5,7,11,13，…}开始的所有与-1或+1（mod 6）同余的数字k（N。

%C a（k（n））主要为负的事实表明了切比雪夫偏差（其中非二次剩余的同余通常在素数竞赛中领先，至少对于“小”整数而言，在二次剩余同余上领先）。

%C这种偏倚似乎是由所有这些平方（偶数幂）与6互素的存在导致的（除其他原因外），它们剥夺了素数出现在二次剩余类+1（mod 6）中的机会，而非二次剩余类别-1（mod 5）是无平方的。

%C与+1（mod 6）同余的平方的密度是1/（6*sqrt（k（n）。

%这里1是一个二次剩余模6，但5（或等价的-1）是一个非二次剩余的模6。所有的偶数幂（包括在正方形中）分别映射同余{-1，+1}到{+1，+1}，因此有助于偏差，而所有的奇数幂分别映射{-1，+1}到{-1，+1}，所以没有助于偏差。

%C然后，人们会期望这种偏差的比率，如果完全是由偶数幂引起的，相对于任一同余中素数的数量，随着k（n）的增加，逐渐趋向于0（因为1/（6*sqrt（k（n（n）））是o（1/（phi（6）*log（k（n））））。

%C这样的绝对值偏差的持续性与否并不矛盾《算术级数素数定理》（Dirichlet），该定理指出，每个同余类互质中质数计数与m的渐近（相对）比在向无穷大的极限中趋于1。（参见下面的“Prime Number Races”链接。）

%此外，即使这种偏差的绝对值增加，它也会被每个同余类互质中素数数量增加到6的波动所淹没（尽管非常缓慢），因为假设黎曼假设成立，它们的最大振幅将是，在我们的情况下，x代表k（n），h（x）=O（sqrt（x）*log（x）)绝对值<=C*sqrt（x）*log（x），其给出任意同余类中素数pi（x，{6，1}）/x和pi（x，{6，5}）/x的密度的h（x）/x=O（log（x）/sqrt（x））<=C*log（x）/sqrt（x）的相对波动。

%C由于1/（6*sqrt（x））是o（log（x）/sqrt（x）），偏差最终将被对应于任一同余类素数密度波动的“粉红噪声或近1/f噪声”所淹没。黎曼假设的错误意味着更大的波动，因为相对湿度对应于最小h（x）。

%如果我们把pi（x，{6，k}）/x的素密度涨落看作x上的振幅谱（功率密度谱为（C*log（x）/sqrt（x））^2=（（C*log（x。这个功率密度谱接近1/x，对于x的每个倍频程，能量几乎相等（尽管缓慢增加为（C*log（x））^2）（参见下面的“素数：计算视角”链接。）

%C在与-1或+1（mod 6）[索引范围从n=1到33332，k（n）=6上限（n/2）+（-1）^n]同余的100000个正整数k（n。

%D R.Crandall和C.Pomerance，“素数-计算视角”，第二版，Springer Verlag 2005，ISBN 0-387-25282-7

%H Daniel Forgues，n的表，n=1..33332的a（n）</a>

%H A.Granville和G.Martin，2004年，<A href=“http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0408319“>质数种族</a>

%H Eric Weisstein，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html“>切比雪夫偏差</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Pink_noise（英文）“>粉红色噪音</a>

%Y参考A156706（其前n项之和给出了该序列的a（n））。

%Y参考A156749（它展示了同余-1或+1（mod 4）的切比雪夫偏差）。

%Y参考A156707（其前n项之和给出A156749的a（n））。

%Y参考A075743，与-1或+1（mod 6）同余的数的素数特征函数。

%Y参见A101264，与-1或+1（mod 4）同余的数的素数特征函数。

%K符号

%O 1,9型

%2009年2月13日、2月14日、2日23、3月1日、3月14日和3月29日