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A156709 对于所有k(n)与k(n)={5,7,11,13,…}一致的-k(n)=1或+1(mod 6),如果k(n)是素数,则k(n)由同余(mod 6)递增,如果k(n)为复合,则k(n)为0。 4个
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评论

A(k(n))主要是负的事实表明Chebyshev Bias(其中不是二次剩余的同余通常在素数竞赛中领先,至少对于小的整数,在二次剩余的同余上)。

这种偏见似乎是(除其他原因之外)引起的吗?所有这些平方(偶数幂)的互质的存在到6,拿走素数出现在二次剩余类+ 1(mod 6)中的机会,而非二次剩余类1(mod 6)是无平方的。

与1 +(mod 6)一致的平方密度是1 /(6×平方Rt(k(n))),因为1/3的正方形与+1(mod 6)是一致的,而剩余类中的素数密度为1或+1(mod 6)是1 /(φ(6)* log(k(n))),与φ(6)=γ。

这里1是二次剩余mod 6,但5(或等价地-1)是二次非残基mod 6。所有的偶数幂(包括在方格中)分别将同余{- 1,+1 }映射到{+ 1,+1 },因此对偏倚有贡献,而所有奇幂分别映射{-1,+1 }到{-1,+1 },因此对偏置没有贡献。

然后,如果这一偏倚的比率,如果是由偶幂所引起的,相对于任一同余中的素数的数目,随着k(n)的增加而渐近趋向于0(因为1 /(6×qRT(k(n)))是O(1 /(φ(6)*log(k(n))))。

绝对值上的这种偏倚的持久性或不与算术级数的素数定理(Dirichlet)不矛盾,它表明每个同余类互质中素数的m(m)的渐近(相对)比趋于无穷大的极限为1。(Cf.的素数竞赛链接如下)

同余类互质到6,假设黎曼假设的真实性,其最大幅值为x,在我们的情况下,x为k(n),h(x)=o(qRT(x)*log(x))<=c*qrt(x)*log(x)为绝对值,这给出了同余类中的素数π(x,{ 6, 1 })/x和π(x,{ 6, 5 })/x中的密度H(x)/x= O(log(x)/qRT(x))<=c*log(x)/qRT(x)的相对波动。而且,即使这种偏差在绝对值中增长,它也会由于每个素数的数量的增加而被淹没(虽然非常缓慢)。

由于1 /(6×SqRT(x))是O(log(x)/SqRT(x)),所以偏置将最终被对应于同余类中的素数密度的波动的“粉红色噪声或接近1/f噪声”所淹没。黎曼假说的谬误将意味着更大的波动,因为Rh对应于最小H(x)。

当我们考虑PI(x,{ 6,k})/x的幅值密度波动(x=x(x)/qrt(x))==((c*log(x))^ 2)/x,并将x看作频率f时,我们得到粉红色噪声或接近1/f噪声,这是由于功率密度谱接近于1/x,并且具有几乎相等的能量(虽然随着x(x)x(2))的缓慢增加而增加。

在正整数k(n)达100000的情况下,与1或1(mod 6)一致[从n=1到33332的索引,k(n)=6的上限(n/2)+(-1)^ n],其中A(k(n))=0,仅获得9整数的保持或保持,并且偏袒非二次剩余类-1(mod 6)的倾向永远不会被违反,即A(k(n))永远不++。

参考文献

R. Crandall和C. Pomerance,“素数-计算透视”,第二版,Sprimer-Velac 2005,ISBN 083-2582-7

链接

Daniel Forguesn,a(n)n=1…33332的表

A. Granville和G. Martin,2004岁,素数竞赛

Eric Weisstein切比雪夫偏倚

维基百科粉红色噪音

交叉裁判

囊性纤维变性。A156706(其第一n项之和给出了这个序列的(n))。

囊性纤维变性。A156799(其表现为同余的Chebyshev Bias - 1或1(mod 4))。

囊性纤维变性。A156707(其第一n项之和给出了(n)A156799

囊性纤维变性。A075 73与1或1(mod 6)一致的素数特征函数。

囊性纤维变性。A101264与1或1(mod 4)一致的素数特征函数。

语境中的顺序:A194821 A0440934 A12761*A081400 A328 194 A131963

相邻序列:A156706 A156707 A156708*A1567 A1567 A1567

关键词

签名

作者

丹尼尔骗局,2月13日2009,2月14日2009,2月23日2009,MAR 01 2009,3月14日2009,3月29日2009

地位

经核准的

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最后修改10月19日11:09 EDT 2019。包含328216个序列。(在OEIS4上运行)