%I#77 2022年6月9日13:34:15

%S 1,1，-1,1，-3,2,1，-4，-3,12，-6,1，-5，-10,20,30，-60,24,1，-6，-15，-10,30，

%电话：120,30，-120，-270360，-120,1，-7，-21，-35,42210140210，-210，-1260，

%U-6308402520、-2520720、-1、-8、-28、-56、-35、56336560420560、-336、-2520、-1680、-5040、-631680144010080、-6720

%N累积展开数：对数展开系数（1+Sum_{k>=1}x[k]*（t^k）/k！）。

%C从常规（断开连接的）对象连接的对象。

%C此数组的行长度为p（n）：=A000041（n）（分区号）。

%C在第n行中，n的分区按Abramowitz-Stegun顺序。

%C可以调用无符号数|a（n，k）|M_5（分别类似于A111786、A036038、A036039、A036040和A117506中给出的M_0、M_1、M_2、M_3和M_4）。

%C在A036040中发现了反向关系（与连接对象断开连接）。

%C（d/da（1））p_n[a（1_汤姆·科普兰，2012年10月13日

%C请参阅有关此数组A263634的不同顺序版本中Appell序列的相关注释。-_汤姆·科普兰，2016年9月13日

%C给定由例如f.exp[t*f（x）]=Sum_{n>=0}p_n（t）*x^n/n！定义的二项式Sheffer多项式序列！，由这些多项式形成的累积量是f（x）的泰勒级数系数乘以t。例如，第一类斯特林多项式序列A008275的f（x2019年7月25日，托姆科普兰

%C来自Tom Copeland_，2020年10月15日：（开始）

%C，其中a_n=n！*b_n=（n-1）！*对于n>0，用f（0）=a0=b0=1表示函数

%C A）指数生成函数（例如f），或形式泰勒级数：f（x）=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n！

%C B）普通生成函数（o.g.f.），或形式幂级数：f（x）=1/（1-B.x）=1+Sum_{n>0}B_n*x^n

%C C）对数生成函数（l.g.f）：f（x）=1-log（1-C.x）=1+Sum_{n>0}C_n*x^n/n。

%C对数（f（x））的展开式见

%C I）A127671和A263634用于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.（a_1，a_2，…）x}=Sum_{n>0}L_n（a_1，…，a_n）*x^n/n！，对数多项式、累积展开多项式

%C II）A263916对于o.g.f.：log[1/（1-b.x）]=log[1-f.（b_1，b_2，…）x]=-Sum_{n>0}f_n（b_1，…，b_n）*x^n/n，Faber多项式。

%C exp（f（x）-1）的展开式如

%C III）A036040，例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.（a_1，…）x}，BELL/Touchard/指数分配多项式，又称第二类斯特林分配多项式

%C IV）A130561表示o.g.f:exp[b.x/（1-b.x）]=e^{LAH.（b.，…）x}，LAH配分多项式

%C V）A036039对于l.g.f.：exp[-log（1-C.x）]=e^{CIP.（c1，…）x}，对称群S_n的循环指数多项式，也称为第一类斯特林配分多项式。

%由于exp和log是一个组合逆对，因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性，反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论，请参见Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040中引用的两本统计力学书籍。（结束）

%C忽略符号，这些多项式出现在第343页的方程组（II）中的Schröder和第31页的Stewart译文中_汤姆·科普兰，2021年8月25日

%D C.Itzykson和J.-M.Drouffe，《统计场论》，第2卷，第413页，等式（13），剑桥大学出版社，（1989）。

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准应用数学局，第55辑，第十版，1972年，第831-2页。

%H Tom Copeland，<a href=“http://tcjpn.wordpress.com/2015/11/21/the-creation-rising-operators-for-appell-sequences（网址：http://tcjpn.wordpress.com/2015/11/21/the-creation-rising-operators-for-appell-sequences）/“>Appell序列的创建/提升运算符。

%H Wolfdieter Lang，前10行累积数和多项式</a>

%H E.Schröder，<a href=“http://www.digizeitschriften.de/dms/img/？PID=GDZPPN002240548“>Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen，《数学年鉴》第2卷，第317-365页，1870年。

%H G.Stewart，<a href=“https://drum.lib.umd.edu/handle/1903/577“>关于求解方程的无限多算法，</a>，1993年（以上Schröder论文的英文翻译）。

%例如，对于多元行多项式A（t）：=log（1+Sum_{k>=1}x[k]*（t^k）/k！）。

%F行n多项式p_n（x[1]，…，x[n]）=[（t^n）/n！]A（t）。

%F a（n，m）=A264753修正人：Johannes W.Meijer，2016年7月12日

%F p_n（x[1]，…，x[n]）=-（n-1）*F（n，x[1]，x[2]/2！，..，x[n]/n！）根据A263916的Faber多项式F（n、b1、..、bn）。-_Tom Copeland_ 2015年11月17日

%F在D=D/dz和M（0）=1的情况下，微分算子R=z+D（log（M（D））/dD=z+D（log（1+x[1]D+x[2]D^2/2！+…））/dD=z+p.*exp（p.D）=z+Sum_{n>=0}p_（n+1）（x[1]，..，x[n]）D^n/n！是Appell序列A_n（z）=（z+x[.]）^n=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）x[n-k]z^k的提升算子，例如f.M（t）e^（zt），即R A_n。运算符Q=z-p.*exp（p.D）生成带有例如f.e^（zt）/M（t）的Appell序列_Tom Copeland_ 2015年11月19日

%e行n=3:[1，-3,2]代表多项式1*x[3]-3*x[1]*x[2]+2*x[1]^3（n=3的p（3）=3分区的Abramowitz-Stegun阶为[3]，[1,2]，[1^3]）。

%Y参考A133314、A263916、A263634。

%Y参考A008275。

%Y参考A036039、A036040、A130561。

%K符号，简单，tabf

%O 1,5型

%A Wolfdieter Lang，2007年1月23日