%I#35 2022年9月7日09:50:49

%S 1,2,1,5,5,1,15,21,8,1,51,86,46,11,1188355235,80,14,17311488，

%电话：1140489123,17,12950633553972730875175,20,1122352735225256，

%电话：1446255301420236,23,1518221195471175827417232472100262151306,26,1

%N按行读取的三角形：第N行是矩阵M[N]^（N-1）的第一行，其中M[N]是具有主对角线（2,3,3，…）和上对角线和次对角线的N X N三对角矩阵（1,1,1，…）。

%C具有不同偏移量：三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+T（n-1，1），T_菲利普·德雷厄姆，2007年3月27日

%C等于A007318*A039599（当写为下三角矩阵时）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年6月16日

%C这个三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k＜0或如果k＞n，T（n，0）=x*T（n-1,0）+T（n-1,1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+y*T（n-1，k）+T（n-1，k+1），如果k＞=1。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121；（0,1）->A089942；（0,2）->A126093；（0,3）->A126970；（1,0）->A061554；（1，1）->A064189；（1、2）->A039599；（1,3）->A110877；（（1,4）->A124576；（2,0）->A126075；（2,1）->A038622；（2,2）->A039598；（2,3）->A124733；（2，4）->A124575；（3,0）->A126953；（3,1）->A126954；（3,2）->A111418；（3,3）->A091965；（3,4）->A124574；（4,3）->A126791；（4,4）->A052179；（4,5）->A126331；（5,5）->A125906.-_菲利普·德雷厄姆，2007年9月25日

%C 5^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数）。例如：5^4=625=（51，86，46，11，1）点（1，3，5，7，9）=（51+258+230+77+9）=625。[_Gary W.Adamson_，2011年6月13日]

%H G.C.Greubel，n表，前50行的a（n），扁平</a>

%H Shu-Chiuan Chang和Robert Shrock，<a href=“https://doi.org/10.1007/s10955-009-9868-0“>晶格条带磁场中Potts模型的配分函数和传递矩阵的结构，统计物理杂志137（2009）667。

%F和{k，0<=k<=n}（-1）^（n-k）*T（n，k）=（-1）*n.-Philippe Deléham，2007年2月27日

%F和{k，0<=k<=n}T（n，k）*（2*k+1）=5^n.-Philippe Deléham，2007年3月27日

%F T（n，k）=（-1）^（n-k）*（GegenbauerC（n-k，-n+1,3/2）+GegenbaurerC（n-k-1，-n+1.3/2））_Peter Luschny_，2016年5月13日

%F来自_Peter Bala_，2022年9月6日：（开始）

%F下面假设行和列索引从0开始。

%F Riordan数组（F（x），x*g（x）），其中F（x”）=（1-sqrt（（1-5*x）/（1-x））/（2*x）=1+2*x+5*x^2+15*x^3+51*x^4+。。。是A007317的o.g.f.，g（x）=（1-3*x-sqrt（1-6*x+5*x^2））/（2*x^ 2）=1+3*x+10*x^2+36*x^3+137*x^4+。。。。参见A002212。

%第n行多项式R（n，x）等于关于点x=0展开的函数（1-x）*（1+3*x+x^2）^n的第n次泰勒多项式。

%F T（n，k）=a（n，k）-a（n，k+1），其中a（n、k）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*binominal（j，n-k-j）*3^（2*j+k-n）。（结束）

%e第3行是（5,5,1），因为M[3]=[2,1,0；1,3,1；0,1,3]和M[3]^2=[5,5,1；5,11,6；1,6,10]。

%e三角形开始：

%e 1；

%e 2，1；

%e五、五、一；

%e第15、21、8、1条；

%e第51、86、46、11、1页；

%e 188、355、235、80、14、1；

%p with（linalg）：m:=proc（i，j）if i=1 and j=1 then 2 elif i=j then 3 elif abs（i-j）=1 then1 else 0 fi end:对于从3到11的n，做A[n]：=矩阵（n，n，m）：B[n]:=乘法（seq（A[n'，i=1..n-1））od:1；2,1; 对于从3到11的n，执行序列（B[n][1，j]，j=1..n）od；#以三角形形式生成序列

%p T:=（n，k）->（-1）^（n-k）*简化（GegenbauerC（n-k，-n+1,3/2）+GegenbaurerC（n-k-1，-n+1.3/2））：序列（序列（T（n，k），k=1..n），n=1..10）；#_Peter Luschny_，2016年5月13日

%tT[0,0，x_，y_]：=1；T[n_，0，x_，y_]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；

%t表[t[n，k，2，3]，{n，0，49}，{k，0，n}]//扁平（*_G.C.格鲁贝尔，2017年4月21日*）

%Y参见A110877、A091965、A002212、A007317、A026375（行总和）。

%K nonn，表

%O 1,2号机组

%A _Gary W.Adamson_和_Roger L.Bagula，2006年11月5日

%E编辑：N.J.A.Sloane，2006年12月4日