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(1-phi(-q)^3/phi(-q^3))/6的q次幂展开式,其中phi()是Ramanujanθ函数。

%I#22 2025年2月16日08:33:02

%S 1,-2,1,1,0,-2,2,-2,1,0,0,1,2,-4,0,1.0,-2,2,0,2,0.0,-2,1,-4,1,2,0,1,0,

%T-2,0,0,0,1,2,-4,2,0,0,-4,2,0,0-0,1,3,-2,0,2,0,-2,0,-4,

%U 2,1,0,0,2,0,0,1,0,-2,2,-4,1,2,0,-4,2,0,1

%N(1-φ(-q)^3/φ(-q^3))/6的q次幂展开式,其中phi()是Ramanujan theta函数。

%C Ramanujan theta函数:f(q)(见A121373)、phi。

%C立方AGMθ函数:a(q)(参见A004016),b(q)。

%D Nathan J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第84页,等式(32.64)。

%H G.C.Greubel,n表,n=1..1000时的a(n)</a>

%H Michael Somos,《Ramanujan theta函数简介》,2019年。

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“https://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数。

%F(1+a(q)-2*a(q^2))/6=(1-b(q)^2/b(q^ 2)))/6的q次幂展开式,其中a(),b()是三次AGMθ函数。

%F(1-eta(q)^6*eta(q^6)/(eta(q^2)^3*eta。

%F Moebius变换是周期6序列[1,-3,0,3,-1,0,…]。

%F a(n)是乘法的,a(2^e)=(3(-1)^e-1)/2,a(3^e)=1,a(p^e)=e+1如果p==1(mod 6),a(p ^e)=2如果p==5(mod 5)。

%F a(3*n)=a(4*n)=a(n)。a(6*n+5)=0。

%F G.F.:(1-乘积{k>0}(1+x^(3k))/(1+x^k)^3*(1-x^k)|3/(1-xqu(3*k)))/6=和{k>0}-(-x)^k/(1+x^k+x^k(2*k)。

%F G.F.:和{k>0}x^(3*k-2)/(1+x^。

%F-6*a(n)=A122859(n),除非n=0。-(-1)^n*a(n)=A113661(n)。

%F渐近平均值:极限{m->oo}(1/m)*和{k=1..m}a(k)=0。-阿米拉姆·埃尔达尔,2023年11月23日

%e G.f=q-2*q^2+q^3+q^4-2*q^6+2*q^7-2*q^8+q^9+q^12+2*qq^13+。..

%t a[n_]:=如果[n<1,0,-除数和[n,(-1)^(n/#)JacobiSymbol[-3,#]&]];(*迈克尔·索莫斯,2015年2月19日*)

%o(PARI){a(n)=如果(n<1,0,-sumdiv(n,d,(-1)^(n/d)*kronecker(-3,d)))};

%o(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sumdiv(n,d,(2+(-1)^d)*kronecker(-3,d)))};

%o(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*o;

%o(PARI){a(n)=如果(n<1,0,direuler(p=2,n,如果(p==2,(1-2*X)/(1-X^2),1/((1-X)*(1-kronecker(-3,p)*X))))[n])};

%o(PARI){a(n)=my(a,p,e);如果(n<1,0,a=因子(n);prod(k=1,矩阵大小(a)[1],[p,e]=a[k,];如果(p==2,(3*(-1)^e-1)/2,p==3,1,p%6==1,e+1,1-e%2))};

%Y参考A113661、A122859。

%Y参考A000122、A0000700、A004016、A005882、A005928、A010054、A121373。

%K符号,简单,多

%O 1,2号机组

%A _迈克尔·索莫斯,2006年9月15日