%I#60 2019年10月3日21:02:18

%S 1,3,2,5,15,7,4,6,9,11,22,13,91,21,8,17,51,19,10,14,33,23,12,20,25,27，

%电话：18,29,87,31,16,24187,35,30,37703,39,26,41123,43,86,45,69,47,94,28，

%U 49,75,34,53159,55,44,38,57,59118,61891,63,32,40,65,67134,46105

%N a（N）是序列中尚未出现的三角数T（N）：=N（N+1）/2的最小除数。

%自然数的排列。证明：设k为未出现的最小数。设n_0是这样的，即通过项n_0，出现了每个数字<k。设m是k>n_0的最小倍数。那么T（2m）可以被k整除，因此a（2m）=k是一个矛盾。

%C已知循环为：（1），（2，3），（4，5，15，8，6，7），（9），（16，17，51，34，35，30，31），（25）和{28，29，87，58，59，118，119，68，46，47，94，95，48}以及附加定点49，57，65，81，85，93，121，133，153，169，185，201，209，217，225，253，261，289，297，…-_John W.Layman，2005年11月9日

%C 10的轨迹开始{10, 11, 22, 23, 12, 13, 91, 161, 189, 285, 429, 473, 869, 957, 1437, 2157, 3237, 4857, 7287, 4164, 3470, 4511, 2256, 1464, 1172, 782, 783, 392, 294, 413, 531, 342, 343, 172, 173, 519, 346, 347, 694, 1735, 1388, 926, 927, 464, 248, 166, 167, 84, 70, 71, 36, 37, 703, 352, 353, 1059, 706, 2471, 1412, 1413, 2121, 7427, 6366, 6367, 3184, 1820, 1214, 1215, 608, 336, 337, 4381, 28483, ...) 如果不计算{a（n）}的至少前28483项，则无法进一步确定_John W.Layman，2005年11月9日

%C猜想：对于所有奇素数p，a（p-1）=p。等价地，如果附加了初始0（0的最小除数，第零个三角形数），则其中的不动点包括奇素数。-_恩里克·纳瓦雷特（Enrique Navarrete），2019年7月24日【彼得·穆恩（_Peter Munn）修正的同等财产措辞，2019月27日】

%C自2019年7月27日起：（开始）

%C上述推测是正确的。

%C对于奇数k，k以k的形式出现。证明：选择m，使k-1<=m<=k，T（m）为奇数。k是T（m）的除数，并且（通过归纳）所有较小的奇数除数都出现得更早，因此，如果k没有出现的话，a（m）=k。

%C对于偶数k，k以2k-1项出现，就像k除以T（2k-1）一样，通过归纳，所有较小的除数都出现得更早。

%对于奇素数p，第一个三角数p除以T（p-1）=p*（p-1。但是，（p-1）/2和任何较小的除数都是由项（p-1。

%C（结束）

%C关于结构的概述，请参见A309200_N.J.A.Sloane，2019年7月25日

%C关于迭代循环，对于长度2，在提到的（2,3）之后还有许多附加循环：（50，75），（122，183），（174，203），，（194，291），（338，507），等等。；长度3：（1734、4335、2312）、（4804、6005、8407）、（7494、18735、9992）、（8994、10493、13491）、（12548、18822、21959）等。；对于长度4:（84326、126489、149487、91992）、（94138、98417、135761、141207）、（255206、382809、638015、364580）、（345928、487444、609305、680063）、（384350、422785、499655、399724）等。10个家族和其他家族（14、40、60、72、78、88、96等）的轨迹被认为是从无穷大到达序列的延续：。。。，451160, 300774, 300775, 186140, 124094, 124095, 62048, 31304, 25044, 20870, 20871, 13914, 13915, 10934, 10935, 7290, 7291, 14582, 14583, 9722, 9723, 6482, 6483, 4322, 4323, 2882, 4061, 12183, 9138, 9139, 11882, 17823, 8912, 6684, 5570, 5571, 2786, 4179, 2090, 2091, 1394, 1395, 698, 1047, 524, 350, 351, 176, 132, 114, 115, 145, 365, 915, 458, 459, 414, 415, 208, 152, 102, 103, 52, 53, 159, 80, 54, 55, 44, 45, 69, 105, 265, 371, 186, 341, 589, 1121, 1947, 1298, 1299, 866, 867, 578, 579, 290, 435, 218, 219, 146, 147, 74, 111, 56, 38, 39, 26, 27, 18, 19, 10, 11, 22, 23, 12, 13, 91, 161, 189, 285, 429, 473, 869, 957, 1437, 2157, 3237, 4857, 7287, 4164, 3470, 4511, 2256, 1464, 1172, 782, 783, 392, 294, 413, 531, 342, 343, 172, 173, 519, 346, 347, 694, 1735, 1388, 926, 927, 464, 248, 166, 167, 84, 70, 71, 36, 37, 703, 352, 353, 1059, 706, 2471, 1412, 1413, 2121, 7427, 6366, 6367, 3184, 1820, 1214, 1215, 608, 336, 337, 4381, 28483, 49847, 28484, 35605, 89015, 74180, 74181, 101041, 210061, 8297449, ... - _汉斯·哈弗曼，2019年7月26日

%H Donovan Johnson，n的表，a（n）表示n=1..10000</a>

%H Enrique Navarrete，Daniel Orellana，<a href=“https://arxiv.org/abs/1907.10023“>寻找素数作为序列的不动点，arXiv:1907.10023[math.NT]，2019。

%p S：={}：

%p代表n从1到1000 do

%p A111273[n]：=min（理论值：-除数（n*（n+1）/2）减去S）；

%pS:=S联合{A111273[n]}；

%日期：

%p序列（A111273[n]，n=1..1000）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2019年1月16日

%t a[n_]：=a[n]=Do[If[FreeQ[Array[a，n-1]，d]，Return[d]]，{d，除数[n（n+1）/2]}]；阵列[a，100]（*_Jean-François Alcover_，2019年3月22日*）

%o（PARI）{m=69；v=Set（[]）；for（n=1，m，d=除数（n*（n+1）/2）；j=1；while（setsearch（v，d[j]）>0，j++）；a=d[j'；v=setunion（v，Set（a））；print1（a，“，”））}\\_Klaus Brockhaus_，2005年11月3日

%o（鼠尾草）

%o定义A111273列表（最多）：

%o A=[]

%o代表n in（1..最多）：

%o D=除数（n*（n+1）/2）

%o A.append（接下来（如果d不在A中，则d代表d中的d）

%o回路A

%o打印（A111273列表（69））#_Peter Luschny_2019年7月26日

%Y参考A000217、A111267、A113658（反向）、A113659（固定点）、A113702（轨迹10）、A309200、A309202、A309203。

%Y有关最小缺失数字，请参阅A309195、A309196和A309197。

%Y平方指数：A309199。

%K nonn公司

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.Sloane，2005年11月3日

%E更多来自Klaus Brockhaus的条款，2005年11月3日