%I#50 2021年1月22日20:46:22

%S 0,0,0,1,0,2,2,0,00,3,3,0,4,1,4,0,5,8,5,0,6,10,12,12，

%T 10,6,0,0,7,11,15,6,15,11,7,0,8,9,13,2,13,9,8,0,,0,9,12,14,14,7,14，

%U 14,12,9,0,0,10,14,4,10,8,8,10,4,14,10,10,0,11,15,7,11

%N表T（N，m）=N和m的Nim乘积，用反对偶法读取，对于N>=0，m>=0。

%C算法注释，R.J.Mathar_，2011年5月29日：（开始）

%C让N*表示两个数字的Nim积，N+表示两个数的Nim和（A003987），让*和+表示通常的乘法和加法。

%C要计算n n*m，借助n=n0+n1*2+n2*4+n3*8+n4*16的二进制表示，将n和m分别写成Nim和。由于Nim求和与二进制XOR函数相同，因此在这两个求和中，可以用N+替换+：

%C n=Nim-sum_i 2^a（i）和m=Nim-sum_j 2^b（j），具有两个整数序列a（i”）和b（j”）。

%C由于N+和N*是字段中的运算，N+和N*是分配的，用于将求和的乘积写成Nim-乘积上的双Nim-和：

%CnN*m=Nim-sum_{i，j}2^a（i）n*2^b（j）。

%剩下的就是计算2的幂的尼姆乘积。

%C将a（i）和b（j）分别拆分为费马数A001146的（普通）乘积（即，将a（i）和b（j）写成二进制），并注意到不同费马数的普通乘积等于不同费马数的尼姆乘积，

%C2^a（i）N*2^b（j）=2^（2^A0）N*2^（2^A1）N*。。。N*2^（2^B0）N*2#（2^B1）N*。。。对于两个二进制整数序列A和B。

%C此有限乘积通过配对A序列和B序列中相同位的情况来重新分组。如果在两个序列中都设置了位，则使用Fermat数的Nim-square是该Fermat号的3/2倍（普通倍数）；如果位仅在两个序列中的一个序列中设置，则（再次）使用不同费马数的尼姆积是普通积。

%C由于Nim-squares的潜在存在，这通常会留下一个Nim-乘积，通过递归处理。

%C此算法在b文件中的Maple程序中实现。nimprodP2（）计算2的两次幂的Nim乘积。（结束）

%D J.H.Conway，《数字与游戏》，学术出版社，第52页。

%H R.J.Mathar，n表，n=0..1890的a（n）</a>

%H Tilman Piesk，256x256表格和https://commons.wikimedia.org/wiki/类别：Nimber_multiplication_8_bit;_对偶“>对偶矩阵</a>

%H Rémy Sigrist，x=0..1023和y=0..1023</a>时T（x，y）的彩色表示

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Nimber“>宁伯</a>

%H<a href=“/index/Ni#Nimmult”>与Nim-乘法相关的序列的索引项</a>

%e表格开始：

%e 0 0 0 0 00 0 0 0.0 0 0 0 0.00 0 0 0。。。

%e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。

%e 0 2 3 1 8 10 11 9 12 14 15 13 4 6 7 5。。。

%e 0 3 1 2 12 15 13 14 4 7 5 6 8 11 9 10。。。

%e 0 4 8 12 6 2 14 10 11 15 3 7 13 9 5 1。。。

%e 0 5 10 15 2 7 8 13 3 6 9 12 1 4 11 14。。。

%e（…）

%p我们从A003987继续：使用（a）加法表AT:=数组（0..NA，0..NA）和（b）用于较大值的nimsum过程计算Nim-乘法表；MT:=阵列（0..N，0..N）；对于从0到N的a，执行MT[a，0]：=0；MT[0，a]：=0；MT[a，1]：=a；MT[1，a]：=a；od：对于从2到N的a，对于从a到N的b，do t1:={}；对于i从0到a-1，对于j从0到b-1，do u1：=MT[i，b]；u2:=MT[a，j]；

%p如果u1<=NA且u2<=NA，则u12:=AT[u1，u2]；else u12:=nimsum（u1，u2）；fi；u3：=公吨[i，j]；如果u12<=NA和u3<=NA，则u4：=AT[u12，u3]；否则u4：=尼姆（u12，u3）；fi；t1:={op（t1），u4}#t1:={op（t1），AT[AT[MT[i，b]，MT[a，j]]，MT[i，j]]}；od；od；

%p t2：=排序（转换（t1，列表））；j：=nops（t2）；对于i从1到nops（t2），如果t2[i]<>i-1，那么j:=i-1；断裂；fi；od；MT[a，b]：=j；MT[b，a]：=j；od；od；

%o（PARI）NP_table=映射（）；NP（x，y）={if（x<2||y<2，x*y，映射已定义（NP_table，if（y>x，[x，y]=[y，x]，[x、y]），映射（NP_table[x，y]），x==3，y-1，x==2，3，my（F=4）；直到（！F*=F，if 3）；中断）；我的（t=2*F）；直到（F*F<=t*=2，如果（x==t，如果（y<F，F=NP（NP（y，t\F），F）；中断（2））；我（i=F）；直到（t<=i*=2，如果（y<2*i，F=if（y>i，bitxor（NP（t，i），NP（t，y-i；断裂（3））；如果（y==t，F=NP（F\2*3，NP（t/F，t/F））；断裂（2））；如果（x<2*t，F=比特或（NP（t，y），NP（x-t，y；断裂（2））；mapput（NP_table，[x，y]，F）；F） }\\_M.F.哈斯勒，2021年1月18日

%o A051775（n，m=“”）={if（m！=“”，NP（n，m），NP哈斯勒，2021年1月22日

%Y参考A051776、A003987。

%K tabl，不，简单，好

%0、8

%A _N.J.A.Sloane，1999年12月19日