%I M3556#124 2024年3月20日09:20:34

%S 1,1,4,1910056233042007112499679377451206323346310221060008，

%电话：14738303089090418619267015401391456192667396312202822934，

%电话：214677694998641482465983410181027656367660071485886985929564988453176689584

%N在应用INVERT变换三次时向左移动。

%C更一般地，（1+m*x-sqrt（m^2*x^2-（2*m+2）*x+1））/（2*m*x）的系数由a（n）=总和{k=0..n}（m+1）^k*n（n，k）给出，其中n（n、k）=（1/n）*二项式（n，k）*二项式（n、k+1）是Narayana数（A001263）_Benoit Cloitre_，2003年5月24日

%C如果y=x*A（x），则3*y^2-（1+2*x）*y+x=0和x=y*（1-3*y）/（1-2*y）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年9月28日

%C序列0,1,4,19，。。。具有g.f.（1-4*x-sqrt（1-8*x+4*x^2））/（6*x），并且具有a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-1,2k）*C（k）*4^（n-1-2*k）*3^k。上步有3步。它是A107264的二项式变换，对应于x/（1+4*x+3*x^2）的级数反转_保罗·巴里，2005年5月18日

%这个序列的汉克尔变换是3^二项式（n+1,2）_菲利普·德雷厄姆，2007年10月29日

%C a（n）是半长n的Schroder路径数，其中0级没有（2,0）-步骤，更高级别有2种颜色。示例：a（2）=4，因为我们有UDUD、UUDD、UBD和URD，其中U=（1,1），D=（1，-1），而B（R）是蓝色（红色）（2,0）-步长_Emeric Deutsch，2011年5月2日

%C a（n）是半长度n-1的Schroder路径的数目，其中在0级的（2,0）-阶有3种颜色，而在更高级别的阶有2种颜色。例如：a（3）=19，因为表示U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），我们有3^2=9条HH形状的路径、3条HUD形状的路径，3条UDH形状的道路、2条UHD形状的道路，以及每个UDUD和UUDD形状的1条路径_Emeric Deutsch，2011年5月2日

%C From _David Callan，2013年6月21日：（开始）

%C a（n）=（左）种植的具有n条边的二叉树的数量，其中每个顶点都有一个指定的最喜爱的邻居。种植的二叉树按加泰罗尼亚数字A000108计算。

%C示例：对于n=2，有两棵种植的二叉树：从根开始的边LL和LR（L=左，R=右）。每个顶点只有一个顶点和两个相邻顶点，因此a（2）=4。

%C证明轮廓：每个顶点有1、2或3个邻居。让X（resp.Y）表示具有2（resp.3）个邻居的顶点数。然后X+2Y=n-1（将非根边拆分为具有公共父顶点和单点的对）。因此，指定最喜欢的邻居的选择数是2^X*3^Y=2^（n-1）（3/4）^Y。Y的分布是已知的，因为在旋转对应关系下，也称为deBruijn-Morselt双射，n边种植的二叉树中具有2个子节点的顶点对应于Dyck路径中的DDU，并且DDU具有Touchard分布（A091894）gf F（x，y）=（1-2x+2xy-sqrt（1-4x+4x^2-4x^2 y））/（2xy）。因此，所需的g.f.，Sum_{n>=1}a（n）*x^n是1/2*（f（2x，3/4）-1）。（结束）

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000的a（n）

%H C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（01）00250-3“>生成树的生成函数</a>，离散数学246（1-3），2002年3月，第29-55页。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Barry/barry91.html“>关于广义Pascal三角的基于整数序列的构造</a>，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.2.4条。

%H Paul Barry和Aoife Hennessy，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry2/barry126.html“>关于Narayana三角形和相关多项式、Riordan阵列和MIMO容量计算的注释，J.Int.Seq.14（2011），第11.3.8条。

%H Paul Barry和Aoife Hennessy，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry2/barry190r.html“>广义Narayana多项式、Riordan数组和格路径，整数序列杂志，第15卷（2012），第12.4.8条。

%H M.Bernstein和N.J.A.Sloane，<A href=“http://arXiv.org/abs/math.CO/0205301“>整数的一些规范序列，线性算法应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到arXiv版本]

%H M.Bernstein和N.J.A.Sloane，<A href=“/A003633/A003633_1.pdf”>整数的一些正则序列，线性算法。应用，226-228（1995），57-72；勘误表320（2000），210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]

%H Z.Chen，H.Pan，<a href=“http://arxiv.org/abs/1608.02448“>涉及加权Catalan-Schroder和Motzkin Paths的恒等式</a>，arXiv:1608.02448（2016），等式（1.13）a=1，b=3。

%H C.焦化，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2003.12008“>特征序列家族，《离散数学》282（2004），249-250。

%H Shishuo Fu，王亚玲，<a href=“https://arxiv.org/abs/1908.03912“>关于两个Schröder三角形的双投射复发</a>，arXiv:1908.03912[math.CO]，2019。

%H Aoife轩尼诗，<a href=“http://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesses.pdf“>Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究</A>，博士论文，沃特福德理工学院，2011年10月。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=443“>组合结构百科全书443</a>

%H Huyile Liang、Jeffrey Remmel、Sainan Zheng，<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.05795“>Stieltjes多项式矩序列，arXiv:1710.05795[math.CO]，2017，见第11页。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“/transforms.txt”>转换</a>

%固定资产：（1+2*x-sqrt（1-8*x+4*x^2））/（6*x）_Emeric Deutsch，2001年11月3日

%F a（0）=1；对于n>=1，a（n）=Sum_{k=0..n}3^k*n（n，k），其中n（n，k）=（1/n）*二项式（n，k）*二项式（n，k+1）是纳拉亚纳数（A001263）_Benoit Cloitre_，2003年5月24日

%F a（n）=和{k=0..n}A088617（n，k）*3^k*（-2）^（n-k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年1月21日

%F偏移量1:a（1）=1，a（n）=-2*a（n-1）+3*Sum_{i=1..n-1}a（i）*a（n-i））_Benoit Cloitre_，2004年3月16日

%对于n>=2，具有递归a（n）=（4*（2n-1）*a（n-1）-4*（n-2）*a_菲利普·德雷厄姆，2005年8月19日

%F来自Paul Barry，2008年12月15日：（开始）

%F G.F.：1/（1-x/（1-3x/（1-×/（1-3×/（1×/（1-3×……）（续分数））。

%F（n+1）的g.F.是1/（1-4x-3x^2/（1-4-3x^2）/（1-4x-3x^2……（连分数）。（结束）

%F a（0）=1，对于n>=1，3a（n）=A047891（n）Aoife轩尼诗（Aoife.Hennessy（AT）gmail.com），2009年12月2日

%F a（n）=M^n中的左上项，M=生产矩阵：

%第1、1层

%第三、三、三层

%第1、1、1和1页

%传真：3、3、3和3

%第1、1、1，1、1和1页

%F。。。

%F-_Gary W.Adamson_，2011年7月8日

%F.G.F.:A（x）=（1+2*x-sqrt（1-8*x+4*x^2））/（6*x）=1/G（0）；G（k）=1+2*x--3*x/G（k+1）；（连分数，1步）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年1月5日

%F a（n）~平方（6+4*sqrt（3））*（4+2*sqert（3），^n/（6*sqort（Pi）*n^（3/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年10月7日

%F a（n）=2^n/sqrt（3）*LegendreP（n，-1,2），对于n>=1，其中Legendre P是相关的第一类勒让德函数，采用Maple表示法_罗伯特·伊斯雷尔，2015年3月24日

%总资产=1+x+4*x^2+19*x^3+100*x^4+562*x^5+3304*x^6+20071*x^7+124996*x^8+。。。

%p A007564_list:=进程（n）局部j，a，w；a:=数组（0..n）；a[0]：=1；

%对于w从1到n的p，做a[w]：=a[w-1]+3*加（a[j]*a[w-j-1]，j=1..w-1）od；

%p转换（a，list）结束：A007564_list（21）；#_Peter Luschny_，2011年5月19日

%ta[0]=1；a[1]=1；a[n]/；n> =2:=a[n]=a[n-1]+3和[a[k-1]a[n-k]，{k，n-1}]；表[a[n]，{n，0,10}]（*_David Callan_，2009年8月25日*）

%t表[Hypergeometric2F1[-n，1-n，2，3]，{n，0，22}]（*_Arkadiusz-Wesolowski_，2012年8月13日*）

%t表[（2^n（LegendreP[n+1，2]-LegendreP[n-1，2]）+2 KroneckerDelta[n]）/（6n+3），{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2015年11月1日*）

%t系数列表[系列[（1+2x-Sqrt[1-8x+4x^2]）/（6x），{x，0,30}]，x]（*哈维·P·戴尔，2016年2月7日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，和（k=0，n，3^k*二项式（n，k）*二项法（n，k+1））/n）}/*_Michael Somos_，2003年9月28日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n++；polcoeff（serreverse（x*（1-3*x）/（1-2*x）+x*o（x^n）），n））}/*_Michael Somos_，2003年9月28日*/

%o（PARI）a（n）=（2^n*（pollegendre（n+1,2）-pollegendre（n-1,2））+2*（n==0））/（6*n+3）；\\_米歇尔·马库斯，2015年11月2日

%o（PARI）x='x+o（'x^100）；Vec（（1+2*x-sqrt（1-8*x+4*x^2））/（6*x））\\_Altug Alkan_，2015年11月2日

%Y参见A047891、A054872。

%K non，nice，eigen

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_