%I M1222#136 2023年7月11日12:21:26

%S 1,1,2,4,10,26,802468102704925232661127204000241432860，

%电话：51706041878417068635478252088496930138522344616786012815663844，

%电话：4782044702817898762451467182513364828212128776953689506400360544338101021365837614443645184011465812

%N具有N个非根节点的有根平面树的数量：循环循环根处的子树可以得到等效的树。

%C还有带2*n个珠子的项链数量，n个白色和n个黑色（为了获得对应关系，从树根开始，在树外面走动，如果离开树根，使用白色；如果朝向树根，则使用黑色）。

%C也是n阶一般循环矩阵的永久多项式表达式中的项数。

%C a（n）是n的n个成分在循环旋转下的等价类数。（给一条项链，把它分成白色的串，然后是黑色的珠子，并记录白色串的长度。这就得到了n的n个组合。）a（n）是Z模n中n个多集的数量，其和为0_David Callan，2003年11月5日

%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第305页（见R（x））。

%D F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，学术出版社，纽约，1973年；第80页，问题3.13。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第2卷，1999年；参见问题7.112（b）。

%H Seiichi Manyama，n表，n=0..1669的a（n）

%H Bruce M.Boman、Thien-Nam Dinh、Keith Decker、Brooks Emerick、Christopher Raymond和Gilberto Schleinger，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/5-5/Boman.pdf“>为什么斐波那契数列出现在自然界的增长模式中？</a>，《斐波那奇季刊》，55（5）（2017），30-41。

%H R.Brualdi和M.Newman，<a href=“http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/74B/jresv74Bn1p37_A1b.pdf“>同余方程的枚举问题，J.Res.Nat.Bureau Standards，B74（1970），37-40。

%H CombOS-组合对象服务器，<a href=“http://combos.org/tree.html“>生成有根的平面树</a>。

%H Paul Drube和Puttipong Pongtanapaisan，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Drube/drube3.html“>环形非交叉匹配，《整数序列杂志》，第19卷（2016年），第16.2.4号。

%H A.Elashvili和M.Jibladze，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0019-3577（98）80021-9“>循环群正则表示的Hermite互易，Indag.Math.（N.S.）9（2）（1998），233--238。MR1691428（2000年版：13006）。

%H A.Elashvili、M.Jibladze和D.Pataraia，<A href=“http://dx.doi.org/10.1023/A:1018727630642“>项链组合学与“厄米特互惠”，J.代数组合。10（2）（1999），173--188。MR1719140（2000j:05009）。见第174页_N.J.A.Sloane，2014年8月6日

%H M.L.Fredman，<a href=“https://doi.org/10.1016/0097-3165（75）90008-4“>一类分区的对称关系，J.Combina.Theory Ser.A，18（1975），199-202。参见公式（4），a（n）=S（n，n，0）。

%H F.Harary和R.W.Robinson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1515/crll.1975.278-279.322“>无尾树的数量，J.Reine Angew.Math.，278（1975），322-335。

%H F.Harary和R.W.Robinson，《无刺树的数量》，J.Reine Angew。数学。，278 (1975), 322-335. （带注释的扫描副本）

%H Thomas C.Hull和Tomohiro Tachi，<a href=“https://arxiv.org/abs/1709.03210“>双线刚性折纸</a>，arXiv:1709.03210[math.MG]，2017年。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=761“>组合结构百科全书761。

%H Benjamin Ruoyu Kan，<a href=“https://dash.harvard.edu/handle/1/37376406“>量子哈密顿复杂性的多项式逼近</a>，哈佛大学学士论文，2023年。

%H G.Labelle和P.Leroux，<a href=“https://doi.org/10.1016/S0012-365X（96）83017-2“>根据度分布枚举（单色或双色）平面树，Disc.Math.157（1996），227-240，Eq.（1.18）。

%H J.Malenfant，<a href=“http://arxiv.org/abs/1502.06012“>关于循环行列式的矩阵元展开，arXiv预印本arXiv:1502.06012[math.NT]，2015。

%H Paul Melotti、Sanjay Ramassamy和Paul Thévenin，<a href=“https://arxiv.org/abs/2003.11006“>凸循环多边形垂直平分线的点和线配置</a>，arXiv:2003.11006[math.CO]，2020。

%H J.Sawada，<a href=“http://dx.doi.org/10.1145/125994.1125995“>生成根树和自由平面树</a>，ACM算法事务，2（1）（2006），1-13。

%H Hugh Thomas，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0301048“>一般循环矩阵的永久项和行列式的项数</a>，arXiv:math/0301048[math.CO]，2003。

%H D.W.Walkup，<a href=“http://dx.doi.org/10.112/S0025579300005659“>梧桐树的数量</a>，Mathematika，19（2）（1972），200-204发件人：N.J.A.Sloane，2012年6月8日

%H<a href=“/index/Ne#项链”>项链相关序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%对于n>0，F a（n）=Sum_{d|n}（φ（n/d）*二项式（2*d，d））/（2*n）。

%当n>0时，F a（n）=（1/n）*Sum_{d|n}（φ（n/d）*二项式（2*d-1，d））。

%F a（n）=A047996（2*n，n）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2006年7月25日

%F a（n）~2^（2*n-1）/（平方（Pi）*n^（3/2））_Vaclav Kotesovec_，2015年8月22日

%p与（数字理论）：A003239:=proc（n）局部t1，t2，d；t2:=除数（n）；t1:=0；对于t2中的d，求t1:=t1+phi（n/d）*二项式（2*d，d）/（2*n）；od；t1；结束；

%p规范：=[C，{B=并集（Z，Prod（B，B）），C=循环（B）}，未标记]；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；

%t a[n_]：=和[EulerPhi[n/k]*二项式[2k，k]/（2n），{k，除数[n]}]；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，25}]（*Jean-François Alcover_，2012年4月11日*）

%o（PARI）

%o C（n，k）=二项式（n，k）；

%o a（n）=如果（n<=0，n==0，sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*C（2*d，d））/（2*n））；

%o/*或，第二个公式：*/

%o/*a（n）=如果（n<=0，n==0，sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*C（2*d-1，d））/n）*/

%o/*_Joerg Arndt_，2012年10月21日*/

%o（SageMath）

%o定义A003239（n）：

%o如果n==0：返回1

%o返回和（除数（n）中d的euler_phi（n/d）*二项式（2*d，d）/（2*n））

%o打印（[A003239（n）代表n in（0..29）]）#_Peter Luschny_，2020年12月10日

%Y参见A002995、A057510、A000108、A022553、A082936、A084575、A037306。

%A208183的Y列k=2。

%A261494的Y列k=1。

%K nonn，很好，很容易

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E序列由Roderick J.Fletcher更正和扩展（yylee（AT）mail.ncku.edu.tw），1997年8月

%E迈克尔·索莫斯的其他评论_