%I M5340#351 2020年2月15日01:25:38

%S 7083640305830719279129272107921727245356736168331291388，

%电话：1130722438922540123385723438763880765197125397455616，

%电话：682592786208118825612291521713592190172820818242189024396394128448

%原始奇异数：没有适当奇异除数的奇异数。

%C西德尼·克拉维茨指出，a（21）=539744；在Benkoski&Erdő的文章中，它被错印为539774_Charles R Greathouse IV，2012年4月4日

%看起来一个奇怪的数字是原始的，如果除以它的最大素因子，它就不奇怪了。有简单的证据吗？-_M.F.Hasler_，2014年8月20日[以下评论没有回答这个问题。]

%是的，任何原始的奇怪数字pwn，乘以任何素数>sigma_1（pwn）也是奇怪的_Robert G.Wilson v_，2015年6月9日

%C A006037和A091191的适当子序列_Robert G.Wilson v_，2015年5月25日

%C术语数量<10^n:0，1，2，7，13，24，48，85，152，276，499，881，…，-_Robert G.Wilson v_，2017年6月21日

%C原始奇数（pwn）176405960704是数量最多的最小项。其他两个术语是81152249741312、14327148694372352_Robert G.Wilson v_，2017年9月22日

%C原始奇数==2（mod 4）：{70，4030，5830，4199030，1550860550，66072609790，…}。到目前为止，A258374中的所有术语都出现了_Robert G.Wilson v_，2015年11月21日

%C见A258882（和A258333）中的a（n）=2^k*p*q形式的项，以及A258401中的所有其他项，包括子集A258883（a（n。A258374和A258375列出了具有n个素数因子的最小项（带/不带多重数）_M.F.Hasler，2016年7月12日

%C序列A273815列出了带有非方形奇数部分的术语，根据定义，不包括在A258883和A258884中_M.F.Hasler，2018年2月18日

%设n是一个奇怪的数，d是n的除数。如果n/d不是奇怪的，那么它要么是亏的，要么是伪完美的。但是，如果n/d是伪完美的，那么将n/d的除数子集乘以与n/d相加的d就可以得到n的解，这与n很奇怪的假设相矛盾。因此，n/d必须不足。在构成sigma（n）/n的n的所有素因子中，最大的素贡献最小，因此如果n/gpf（n）亏，那么n的所有除数d的n/d都亏，n是一个本原奇数_Charlie Neder_，2018年10月8日

%上述推理的第二部分是不正确的：gpf（n）对sigma（n）/n的贡献可能大于较小的素因子。例如，对于n=24，我们有n/3不足，但n/2丰富；对于n=350，n/7不足，n/5丰富_M.F.Hasler_，2020年1月25日

%D R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B2。

%D R.Honsberger，《数学宝石》，文学硕士，1973年，第113页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Robert G.Wilson v，n表，n=1..1161的a（n）（术语a（58）-a（160）来自Donovan Johnson）。【插入术语a（1159）并由_Georg Fischer重新格式化b文件，2019年1月16日】

%H斯坦·本科斯基，<a href=“网址：http://www.jstor.org/stable/2316276“>问题E2308</a>，美国数学月刊，79（1972）774。

%H Gianluca Amato、Maximilian F.Hasler、Giuseppe Melfi和Maurizio Parton，<a href=“http://rivista.math.unipr.it/vols/2016-7-1/amato-et-al.html“>具有三个以上不同素因子的原始奇异数，Riv.Mat.Univ.Parma，第7卷，第1期（2016）153-163。

%H Gianluca Amato、Maximilian F.Hasler、Giuseppe Melfi和Maurizio Parton，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jnt.2019.027“>具有许多素因子的丰富且奇异的原始数，《数论杂志》第201卷（2019年），第436-459页。DOI:10.1016/j.jnt.2019.027。（预印本：arXiv:1802.07178。）

%H S.J.Benkoski和P.ErdőS，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1974-0347726-9“>关于奇怪和伪完美数字，《数学与计算机》，28（1974），第617-623页<a href=“网址：http://www.renyi.hu/~p_erdos/1974-24.pdf“>备用链接</a>；<a href=”http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1975-0360452-6“>1975年勘误表。

%H R.K.Guy，给N.J.a.Sloane的信及其附件，1991年6月</a>

%H Douglas E.Iannucci，<a href=“http://arxiv.org/abs/1504.02761“>关于2^k*p*q</a>形式的原始奇数，arXiv:1504.02761[math.NT]，2015。

%H G.梅尔菲，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2014.07.024“>关于原始奇数的条件无穷性，《数论杂志》，第147卷，2015年2月，第508-514页。

%H Robert G.Wilson v，n的表，a（n）及其丰度和n=1.1161的因子分解</a>

%e 10430=A006037（8）很奇怪，但不是原始的奇怪，因为它有适当的奇怪除数70=A00603（1）。

%t（*first-do*）<<组合数学`（*then*）fQ[n_]：=块[{d=大多数@除数@n，l=2^（除数Sigma[0，n]-1），i=1}，i=1；而[i<l&&Plus@@NthSubset[i，d]！=n、 i++]；i==l]；lst={}；Do[m=n；如果[Mod[n，6]！=0&&DivisorSigma[1，n]>2 n&&并集[Mod[n，Join[lst，{n+1}]][[1]！=0 && fQ@n，附录[lst，n]；打印@n]，{n，24200000，2}]（*RobertG.Wilson v_，2009年8月4日*）

%t（*输入：偶数范围---输出：原始奇数*）

%t块[{$RecursionLimit=Infinity}，

%t subOfSum[ss_，kk_，rr_]：=

%t模块[{s=ss，k=kk，r=rr}，

%t如果[s+w[[k]]>=mm&&s+w[[k]]<=m，t=假；

%t转到[完成]（*找到*），

%t如果[s+w[[k]]+w[[k+1]]<=m，

%t subOfSum[s+w[k]]，k+1，r-w[[k]]]；

%t如果[s+r-w[[k]]>=m&s+w[[k+1]]<=m，

%t subOfSum[s，k+1，r-w[[k]]]；t] ；（*结束subOfSum*）

%t greedyQ[ab_]：=模块[{abn=ab，v，sum，s，j，jj，k}，tt=False；

%t jj=长度[w]；（*开始搜索*）

%t Do[s=r；总和=0；Do[v=w[j]]；总和=总和+v；

%t如果[sum>abn，sum=sum-v；转到[nxt]]；

%t如果[sum==abn，tt=True；转到[doneG]]；s=s-v；

%t标签[nxt]，{j，jj，1，-1}]；

%tjj=jj-1，{k，1，jj-1}]；标签[doneG]；

%t（*真表示找到，假表示找不到*）tt]；（*结束协议Q*）

%t cnt=0；

%t Do[如果[Mod[n，3]==0，转到[agn]]；r=除数Sigma[1，n]；

%t m=r-2*n；

%t如果[m>0，fi=FactorInteger[n]；largestP=fi[[长度[fi]][[1]；

%t nn=n/largestP；如果[m>2*nn||长度[fi]<3，转到[agn]]；

%t如果[DivisorSigma[1，nn]>2*nn，转到[agn]]；t=真；r=r-n；

%t ww=除数[n]；lenW=长度[ww]；

%t执行[如果[ww[[i]]<=m，w=删除[ww，i-lenW]；中断[]，

%t r=r-ww[[i]]]，{i，lenW-1，1，-1}]；

%t如果[r>=m，

%t如果[greedyQ[m]，t=假，（*2的幂被丢弃*）

%t exp2=fi[[1]][2]；sig2=2^（exp2+1）-1；mm=m-信号2；

%t lenW=长度[w]；ww＝｛｝；

%t如果[exp2>1，

%t做[Do[If[w[[i]]==2^ii，ww=AppendTo[ww，w[i]]]，

%t{i，1，lenW}]，{ii，0，exp2}]；

%t w=补码[w，ww]

%t（如果*，则结束t），w=下降[w，2]；

%t（*end Pwr2*）t=subOfSum[0，1，r]]]；标签[完成]；

%t如果[t，打印[++cnt，“”，n，“”，t]]]；

%t标签[agn]，{n，210000000，2}]]

%t（*来自Brent Baughn，途径http://mathematica.stackexchange.com/questions/73301/calcuting-weird-numbers（计算怪数），_Robert G.Wilson v_，2015年11月21日*）

%o（PARI）是_A002975（n）=是_A006037（n）&&！fordiv（n，d，！bittest（d，0）&&d<n&is_A006037（d）&&return）\\_M.F.Hasler_，2014年1月7日

%Y参考A006037。

%Y参考A258882和A258333；A258883、A258884、A25888和A258401；A258374和A258375。

%K nonn很好

%O 1,1号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多来自Jud McCranie的条款，2001年10月21日

%E 2009年8月4日Robert G.Wilson v_的另一个学期

%E a（1）-a（123）由M.F.Hasler_于2014年1月7日进行双重检查

%E编辑：M.F.Hasler，2016年7月12日