%I M2998 N1214#298 2024年4月5日11:10:14

%S 1,3,15,93639465335169272835215775917319837140668065，

%电话：11534629959533639025793265665665663835030335582724468093，

%电话：4715242562655939769750195965340077557344308929016970072920387248256043372999089

%N a（N）=和{k=0..N}二项式（N，k）^2*二项式。

%这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开式_Matthijs Coster，2004年4月28日

%C a（n）是距离平面上三步随机行走原点距离的第2n个力矩Peter M.W.Gill（Peter.Gill（AT）nott.ac.uk），2004年2月27日

%C a（n）是一个三字母字母表上长度为2n的阿贝尔平方数_杰弗里·沙利特（Jeffrey Shallit），2010年8月17日

%考虑蜂窝格子上的二维简单随机游动。a（n）给出了在原点结束的长度为2n的路径的数量_Sergey Perepechko，2011年2月16日

%C A318397行和A008459的平方_Peter Bala，2013年3月5日

%C猜想：对于每个n=1,2,3，。。。多项式gn（x）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*二项式，（2k，k）*x^k在有理数域上是不可约的_孙志伟，2013年3月21日

%C这是一个类Apery-like序列-见Cross-references_雨果·普福尔特纳，2017年8月6日

%C a（n）是（x+y+z）^n.-Michael Somos_，2018年8月25日系数的平方和

%C a（n）是（1+（1+x）*（1+y）+（1+1/x）*

%D Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。

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%F a（n）=和{m=0..n}二项式（n，m）*A000172（m）。[巴鲁坎德]

%具有递归的F D-有限：（n+1）^2a（n+1）=（10*n^2+10*n+3）*a（n）-9*n^2*a（n-1）.-_Matthijs Coster，2004年4月28日

%F和{n>=0}a（n）*x^n/n^2=贝塞尔（0，2*sqrt（x））^3.-_Vladeta Jovovic_，2003年3月11日

%F a（n）=和{p+q+r=n}（n！/（p！*q！*r！））^2与p，q，r>=0。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年7月25日

%对于n>0.-，F a（n）=3*A087457（n）_Philippe Deléham，2008年9月14日

%F a（n）=超几何（[1/2，-n，-n]，[1，1]，4）_Mark van Hoeij，2010年6月2日

%F G.F:2*sqrt（2）/Pi/sqrt（1-6*z-3*z^2+sqrt）（1-z）^3*（1-9*z））*椭圆（8*z^（3/2）/_谢尔盖·佩雷佩奇科，2011年2月16日

%F G.F.：求和{n>=0}（3*n）/不^3*x^（2*n）*（1-x）^n/（1-3*x）^（3*n+1）_Paul D.Hanna，2012年2月26日

%F渐近：a（n）~3^（2*n+3/2）/（4*Pi*n）.-_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2012年9月11日

%F G.F:1/（1-3*x）*（1-6*x^2*（1-x）/（Q（0）+6*x^2*（1-x））），其中Q（k）=（54*x^3-54*x^2+9*x-1）*k^2+（81*x^3-81*x ^2+18*x-2）*k+33*x^3-33*x^3+9*x-1-3*x^2\（1-x（3*k+5）/Q（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年7月16日

%F G.F.：G（0）/（2*（1-9*x）^（2/3）），其中G（k）=1+1/（1-3*（3*k+1）^2*x*（1-x）^2/（3*（3*k+1）^2*x*（1-x）^2-（k+1）^2*（1-9*x）^2/G（k+1）））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年7月31日

%F a（n）=[x^（2n）]1/agm（平方（（1-3*x）*（1+x）^3），平方（（1+3*x）x（1-x）^2）_Gheorghe Coserea，2016年8月17日

%F 0=+a（n）*（+a（n+1）*a（n+3）-117*a（n+4））+a（n+2）*2017年10月30日，Z.-Michael Somos中所有n的+a（n+4））

%F G.F.y=A（x）满足：0=x*（x-1）*（9*x-1）*y''+（27*x^2-20*x+1）*y'+3*（3*x-1

%F和{k>=0}二项式（2*k，k）*a（k）/6^（2*k）=A086231=（sqrt（3）-1）*（伽马（1/24）*Gamma（11/24））^2/（32*Pi^3）_瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年4月23日

%F From _Bradley Klee_，2023年6月5日：（开始）

%F g.F.T（x）遵循周期性常微分方程：

%F 0=3*（-1+3*x）*T（x）+（1-20*x+27*x^2）*T'（x）+x*（-1+x）*（-1+8*x）*T'（x）。

%F周期ODE可由以下Weierstrass数据得出：

%F g2=（3/64）*（1+3*x）*（1-15*x+75*x^2+3*x^3）；

%F g3=-（1/512）*（-1+6*x+3*x^2）*（1-12*x+30*x^2-540*x^3+9*x^4）；

%F确定具有四个奇异纤维的椭圆表面。（结束）

%通用公式：A（x）=1+3*x+15*x^2+93*x^3+639*x^4+4653*x^5+35169*x^6+。。。

%例如：A（x）=1/（1-3*x）+6*x^2*（1-x）/（1-3*x）^4+90*x^4*（1-x）^2/（1-3+x）^7+1680*x^6*（1-x^3）/（1-3*x）^10+34650*x^8*（1-x-）^4/（1-3*x）^13+…-_Paul D.Hanna，2012年2月26日

%p系列（1/GaussAGM（sqrt（（1-3*x）*（1+x）^3），sqrt

%p A002893:=n->上层（[1/2，-n，-n]，[1，1]，4）：

%p序列（简化（A002893（n）），n=0..20）；#_Peter Luschny_，2017年5月23日

%t表[总和[二项式[n，k]^2二项式[2k，k]，{k，0，n}]，{n，0,20}]（*_哈维P.戴尔，2011年8月19日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，超几何PFQ[{1/2，-n，-n}，{1，1}，4]]；（*迈克尔·索莫斯，2013年10月16日*）

%t a[n_]：=系列系数[BesselI[0，2*Sqrt[x]]^3，{x，0，n}]*n^2; 表[a[n]，{n，0，20}]（*Jean-François Alcover_，2013年12月30日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，块[{x，y，z}，展开[（x+y+z）^n]/。{t_Integer->t^2，x->1，y->1，z->1}]]；（*迈克尔·索莫斯，2018年8月25日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！^2*polceoff（besseli（0，2*x+o（x^（2*n+1）））^3，2*n））}；

%o（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）^2*二项式，（2*k，k））}；/*_Michael Somos_，2007年7月25日*/

%o（PARI）｛a（n）=极系数（sum（m=0，n，（3*m）！/m！^3*x^（2*m）*（1-x）^m/（1-3*x+x*o（x^n））^（3*m+1）），n）｝\\_Paul D.Hanna_，2012年2月26日

%o（PARI）N=42；x='x+O（'x^N）；v=Vec（1/agm（sqrt（（1-3*x）*（1+x）^3），sqrt（（1+3*x）*（1-x）^3））；向量（（#v+1）\2，k，v[2*k-1]）\\_Gheorghe Coserea_，2016年8月17日

%o（岩浆）[&+[二项式（n，k）^2*二项式：k in[0..n]]：n in[0..25]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2018年8月26日

%o（SageMath）

%o定义A002893（n）：返回简化（超几何（[1/2，-n，-n]，[1,1]，4））

%o[A002893（n）for n in range（31）]#_G.C.Greubel_，2023年1月21日

%Y参见A000172、A002895、A000984、A006480、A087457、A274600、A318397。

%Y参考A169714和A169715.-_Peter Bala，2013年3月5日

%Y类Apéry数[或类Apáry序列、类Apery numbers、类Aperry sequences]包括A000172、A000984、A002893、A00289、A005258、A00525、A005260、A006077、A036917、A063007、A081085、A093388、A125143（除符号外）、A143003、A143007、A143413、A14341、A14343415、A143583、A183204、A214262、A219692、A226535、A227216、A227454、，A229111（除标志外）、A260667、A260832、A262177、A264541、A26454、A279619、A290575、A29057。（术语“类人猿”没有明确定义。）

%Y对于不除序列A000172、A005258、A002893、A081085、A006077、A093388、A125143、A229111、A00289、A290575、A29057、A00525的项的素数，分别参见A260793、A291275-A291284和A133370。

%K nonn，放松，走路，很好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_