%I M1009 N0377#105 2025年2月16日08:32:26

%S 1,2,4,6,10,12,18,22,30,34,42,48,58,60,78,82102108118132150154，

%电话174192210214240258274282322330360372402418442454498，

%电话：51054057061262648672718732780802840870918

%N使用第N个洞的Tchoukaillon（或Mancala，或Kalahari）纸牌游戏中最小数量的石头。

%C要得到第n项，从n开始，依次向上舍入到n-1，n-2的下一个倍数。.., 1.

%C由筛子生成：从[1..n]开始；保持第一个数字，每2个下降，保持第一，每3个下降，保留第一，每4个下降，等等。

%C来自Don Knuth_的评论，2021年6月8日，由N.J.A.Sloane_添加，2021年年6月9日：（开始）

%C我已经对Broline和Loeb（1995）的结果进行了初步的阐述，在目前被称为练习11（第7页）及其答案（第9页和第10页）的二部分匹配文档中。

%C不幸的是，我认为这篇论文声称已经证明了Erdõs和Jabotinsky关于n^2/pi近似尖锐度的猜想，这是错误的。当他们在定理9的证明中计算I_M的和时，他们将其表示为f（M-1）^2/4M+O（f（M-1））。这是正确的；但误差变得相当大，当求和得到O（n^（3/2））时，不是O（n）。

%C通过对范围的一部分进行求和，并在其余部分中使用另一个估计值，我相信可以得到总体误差界O（n^（4/3）），从而匹配Erdős和Jabotinsky的结果，但没有改进

%D Y.David，关于筛分过程产生的序列，Rivon Lematematika，11（1957），26-31。

%D S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第1.4.7节。

%D V.Gautheron，第三、二、五章：La Tchouka，收录于《Wari et Solo:le Jeu de calculs africain（Les Distracts）》，A.Deledicq和A.Popova编辑，CEDIC，巴黎，1977年，180-187年。

%D D.E.Knuth，二元匹配，《计算机编程的艺术》，第4卷，第14A节，2021年6月8日，http://cs.stanford.edu/~knuth/fasc14a.ps.gz。参见第节。7.5.1，练习11。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Kerry Mitchell，n表，n=1..100000的a（n）

%H D.Betten，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0167-5060（08）70224-3“>卡拉哈里和序列“Sloane No.377”，《离散数学年鉴》，37，51-581988。

%H D.M.Broline和Daniel E.Loeb，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/9502225“>Mancala-Type游戏的组合：Ayo，Tchoukaillon和1/Pi，J.本科生数学应用，第16卷（1995年），第21-36页；arXiv:Math/9502225[Math.CO]，1995年。

%H K.S.Brown，<a href=“http://www.mathpages.com/home/kmath001/kmath 001.htm“>向上舍入到PI</a>

%H Y.David，关于筛分过程生成的序列，Rivon Lematematika，11（1957），26-31。[仅第31和27页的注释扫描]

%H Mark Dukes，<a href=“https://maths.ucd.ie/~dukes/strange_roots.pdf“>与Tchoukaillon纸牌游戏相关的整数对序列，都柏林大学学院（爱尔兰，2020年）。

%H Mark Dukes，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL24/Dukes/dukes3.html“>Fagan的构造，奇怪的根，和Tchoukaillon纸牌，整数序列杂志，第24卷（2021年），第21.7.1条。

%H Mark Dukes，<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.02381“>《法根的构造》、《奇怪的根》和《周凯伦纸牌》，arXiv:22022.02381[math.NT]，2022年。

%H P.Erdős和E.Jabotinsky，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S1385-7258（58）50016-X“>关于筛分过程生成的整数序列（第一部分），Indagationes Math.，20，115-1281958。

%H P.Erdős和E.Jabotinsky，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S1385-7258（58）50017-1“>关于筛选过程生成的整数序列（第二部分），Indagationes Math.，20，115-1281958。

%H B.Gourevitch，<a href=“http://www.pi314.net/eng/brown.php“>圆周率的世界</a>

%H Nick Hobson，此序列的Python程序</a>

%H Brant Jones、Laura Taalman和Anthony Tongen，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.08.706“>纸牌Mancala游戏与中国剩余定理，Amer.Math.Mnthly，120（2013），706-724。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://neilsloane.com/doc/sg.txt“>我最喜欢的整数序列</a>，在sequences and their Applications（Proceedings of SETA'98）中。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“https://mathworld.wolfram.com/Pi.html“>Pi</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“https://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html“>Pi公式。

%H<a href=“/index/Si#sieve”>筛子生成序列的索引条目</a>

%F等于A007952（n）+1或等于A108696（n）-1。

%F A130747（a（n））=1。-Reinhard Zumkeller，2009年6月23日

%F a（n+1）=1+[..[[[[n*3/2]5/4]7/6]9/8]。..（2k+1）/2k]。..].-Birkas Gyorgy_，2011年3月7日

%F极限{n->oo}n^2/a（n）=Pi（见Brown）。-Peter Bala，2014年3月12日

%F看起来a（n）/2=A104738（n-1）。-2021年5月27日，Don Knuth_

%e第10学期：10->18->24->28->30->30->32->33->34->34。

%编号A002491

%由B.Gourevitch提供的p#程序

%p a：=进程（n）

%p局部x，f，i，y；

%p x：=n；f:=n；

%p表示i从x乘-1到2 do

%p y：=i-1；

%p而y<f do

%p y：=y+i-1

%p od；

%p f：=y

%日期

%p端：

%p序列（a（n），n=2。. 53);

%t f[n_]：=折叠[#2*天花板[#1/#2+0]&，n，反向@范围【n-1】；数组[f，56]（*_Robert G.Wilson v_，2005年11月5日*）

%t del[list_，k_]：=删除[list，Table[{i}，{i，k，Length[list]，k}]]；a[n]：=Last@NestWhile[{#[[1]]+1，del[Rest@#[2]]，#[1]]+1]，追加[#[[3]]，第一个@#[2]]}&，{1，范围[n]，{}}，#[2]]=！= {} &];a[1000]（*Birkas Gyorgy_2011年2月26日*）

%t表[1+第一个@FixedPoint[{楼层[#[[1]]*（#[2]]+1/2）/#[2]]，#[[2]]+1}&，{n，1}，SameTest->（#1[[1]]==#2[[1]]&）]，{n、0、30}]（*Birkas Gyorgy_，2011年3月7日*）

%t f[n_]：=块[{x，p}，对于[x=p=1，p<=n，p++，x=天花板[（n+2-p）x/（n+1-p）]]；x] （*Don Knuth_，2021年5月27日*）

%o（哈斯克尔）

%o a002491 n=a002491_list！！（n-1）

%o a002491_list=筛1[1..]，其中

%o筛k（x:xs）=x:sieve（k+1）（mancala xs），其中

%o曼卡拉xs=us++曼卡拉vs where（us，v:vs）=splitAt k xs

%o——Reinhard Zumkeller，2012年10月31日

%o（PARI）a（n）=步骤（k=n-1,2，-1，n=（（n-1）\k+1）*k）；2016年3月29日，查尔斯·格里特豪斯四世

%Y参考A000012、A000960、A028920、A028931、A02893、A0289.33、A112557、A112558、A113742、A113743、A113744、A113745、A113746、A113747、A113748、A113749。

%Y参见A104738。

%Y A344009中的一行阵列。

%不，简单，好

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_