%I M0453 N0167#229 2023年9月7日03:59:35

%S 1,2,3,4,5,3,7,4,6,5,11,4,13,7,5,6,17,6,19,5,7,11,23,4,10,13,9,7,29,5，

%电话31,8,11,17,7,6,3,7,19,13,5,41,7,43,11,6,23,47,6,14,10,17,13,53,9,11,7，

%U 19,29,59,5,61,31,7,8,13,11,67,17,23,7,71,6,73,37,10,19,11,13,79,6,9,41,83,7

%N Kempner numbers：最小正整数m，N除以m！。

%C虽然奥布里·坎普纳（Aubrey Kempner）和卢卡斯（Lucas）分别在60年前和35年前研究过，但有时以弗洛伦丁·斯马兰达奇（Florentin Smarandache）的名字命名。

%C Kempner最初将a（1）定义为0，并且有充分的理由更倾向于这样（参见Hungerbühler和Specker），但我们现在仍将使用传统值a（1_N.J.A.Sloane，2021年1月2日

%C Kempner给出了一个从n的素因式分解计算a（n）的算法。部分解是由Lucas在1883年和Neuberg在1887年给出的_Jonathan Sondow，2004年12月23日

%C a（n）是Z上的最低次一元多项式在整数mod n[Newman]上恒等消失的次数。

%C最小的k，使得n除以从n+1开始的k个连续整数的乘积_Amarnath Murthy，2002年10月26日

%如果m和n是n>1的整数，那么|e-m/n|>1/（a（n）+1）！（见Sondow 2006）。

%C Bell数（A000110）读取模n满足的最小线性递归度[Lunnon等人]-n.J.A.Sloane_，2009年2月7日

%D E.Lucas，问题编号288，数学3（1883），232。

%D R.Muller，《与Smarandache函数相关的未解决问题》，数论出版公司，亚利桑那州凤凰城，ISBN 1-879585-37-51993年。

%D J.Neuberg，《问题建议的解决方案》，第288号问题，《数学》第7卷（1887年），第68-69页。

%唐纳德·J·纽曼，《问题研讨会》。问题17，Springer-Verlag，1982年。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D Florentin Smarandache，《数论中的函数》，阿奈勒大学蒂米索拉分册1，第十八卷，1980年，第79-88页；Smarandache Function J.，第1卷，第1-3期（1990年），第3-17页。

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=1..100000的a（n）（来自T.D.Noe的前1000个术语）

%H Charles Ashbacher，<a href=“https://web.archive.org/web/20170222073259/http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/Ashbacher-SmFu.pdf“>《smarandache函数简介》（An Introduction to the smarandache Function），埃尔胡斯大学出版社，维尔，62页，1995年[WaybackMachine缓存版本由_Felix Fröhlich_添加，2018年9月10日]。

%H Constantin Dumitrescu，<a href=“https://web.archive.org/web/20170222073346/http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SN/ScArt5/BriefHistory.pdf“>“smarandache函数”的简史</A>，Bull.Pure Appl.Sci.Sec.E，Math.，Vol.12，No.1-2（1993），pp.77-82[WaybackMachine缓存版本由_Felix Fröhlich添加，2018年9月10日]。

%H Constantin Dumitrescu和Vasile Seleacu，<a href=“https://web.archive.org/web/20150912034132/http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/Dumitrescu-SmFunction.pdf“>smarandache函数</a>，Erhus Univ.Press，Vail，137页，1996年[WaybackMachine缓存版本由_Felix Fröhlich_添加，2018年9月10日]。

%H Jason Earls，<a href=“https://pdfs.semanticscholar.org/4559/ac50797ddeda688576630c4d92229440a0a3.pdf#page=243“>Smarandache因子间复合物的总和函数，见《Smarandache概念期刊》，第14卷，第1期（2004年），第246页。

%H Paul Erd和Ilias Kastanas，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2324376“>解决方案6674：n的倍数的最小阶乘，《美国数学月刊》，第101卷，第2期（1994年），第179页。

%H Steven R.Finch，<a href=“https://doi.org/10.5281/zenodo.8879“>Smarandache函数的平均值</a>，《Smarandache概念杂志》，第10卷，第1-3期（1999年），第95-96页。

%H Mats Granvik，检验推测公式的Mathematica程序，2021年2月28日。

%H Norbert Hungerbühler和Ernst Specker，<a href=“http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/g23/g23.Abstract.html“>将Smarandache函数推广到多个变量，INTEGERS，第6卷（2006），#A23

%H Aleksandar Ivić，<a href=“http://arXiv.org/abs/math/0311056“>关于涉及n的最大素因子的Erdős问题，arXiv:math/0311056[math.NT]，2003-2004。

%H Aubrey J.Kempner，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2972639“>杂项，《美国数学月刊》，第25卷，第5期（1918年5月），第201-210页。（见第二节，关于可被给定整数n整除的最小整数m！）

%H G.Kreweras，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=MSH_1983__84__45_0“>Sur quelques problèmes relatifs au vote pondéré</a>，[加权投票的一些问题]，《数学科学》第84期（1983年），第45-63页。

%李秀梅和沙敏，<a href=“https://arxiv.org/abs/1907.00370“>Sondow关于Smarandache函数猜想的证明，arXiv预印本arXiv:1907.00370[math.NT]，2019-2020。阿默尔。数学。月刊，127:10（2020），939-943。

%H W.F.Lunnon等人，<a href=“http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa35/aa3511.pdf“>Bell数与复合模量I的算术性质</a>，《阿里思学报》，第35卷（1979年），第1-16页。【摘自N.J.A.Sloane，2009年2月7日】

%H Jon Perry，<a href=“http://fs.unm.edu/SN/CalculatingSmaraNumbers.pdf“>计算Smarandache数，《Smarandache概念杂志》，第14卷，第1期（2004年），第124-127页。

%H项目欧拉，<a href=“https://projecteuler.net/problem=549“>问题549：阶乘的可除性。

%H Sebastián Martín Ruiz，<a href=“http://doi.org/10.5281/zenodo.8919“>《与斯马兰达什函数的一致性》，《斯马兰达什概念杂志》，第10卷，第1-3期（1999年），第130-132页。

%H József Sándor，<a href=“https://pdfs.semanticschoolr.org/177f/0a19d067aef7a92a1d2c947d60eb375d455c.pdf“>Smarandache最小和最大函数</a>，Scientia Magna，第1卷，第2期（2005年），第162-166页。见第164页。

%H Jonathan Sondow，<a href=“http://arxiv.org/abs/0704.1282“>e是非理性的几何证明及其非理性的新度量，《美国数学月刊》，第113卷（2006），第637-641页和第114卷（2007），第659页。

%H Jonathan Sondow和Kyle Schalm，<a href=“http://arxiv.org/abs/0709.0671“>e的泰勒级数的哪些部分和收敛到e？（以及与素数2、5、13、37、463的联系），II</a>，《实验数学中的宝石》（T.Amdeberhan，L.a.Medina，and V.H.Moll，eds.），《当代数学》，第517卷，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2010年。

%H Jonathan Sondow和Eric W.Weisstein，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SmarandacheFunction.html“>数学世界：Smarandache函数。

%H J.Thompson，《smarandache函数的适当性（sic）》，摘要878-11-758，通知Amer。数学。Soc.，第14卷（1993年），第41页。[带注释的扫描副本]

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Kempner_function网站“>Kempner函数。

%H<a href=“/index/Fa#factorial”>与阶乘数相关的序列的索引条目。

%F A000142（a（n））=A092495（n）.-_Reinhard Zumkeller，2011年8月24日

%F From _Joerg Arndt_，2012年7月14日：（开始）

%F Kempner（1918）给出了以下身份：

%Fa（1）=1。

%F a（n！）=n。

%对于p素数，F a（p）=p。

%如果p1<p2<pu是不同的素数。

%F a（p^k）=p*k对于p素数和k<=p。

%F设n=p1^e1*p2^e2*…*pu^eu是n的标准因式分解，则a（n）=max（a（p1^e1），a（p2^e2）。。。，a（pu^eu））。

%F（结束）

%F显然a（n）>=P（n），n的最大素因子（=A006530）。a（n）=几乎所有n的P（n）（Erdős和Kastanas 1994，Ivic 2004）。例外情况为A057109。a（n）=P（n）当且仅当a（n！，n也会除以（a（n）-1）！，与a（n）的极小性相矛盾_Jonathan Sondow，2005年1月10日

%如果p是素数，那么a（p^k）=k*p表示0<=k<=p。因此，如果n=2^m*p（1）^e（1）*…*p（r）^e（r），如果存在b，1<=b<=r，那么Max（2*m+2，p（i）*e（i），1<=i<=r）=p（b）*e。例如：a（2145986896455317997802121296896）=a（2^10*3^3*7^9*11^9*13^8）=13*8=104，因为8*13=Max（2*10+2，3*3，7*9，11*9，13*8）和8<=13_Benoit Cloitre_，2002年9月1日

%F似乎a（2^m-1）是2^m-1（A005420）的最大素因子。

%如果p是素数，则F a（n！）=n表示所有n>0，a（p）=p_Jonathan Sondow，2004年12月23日

%F猜想：a（n）=1+n-和{k=1..n}和{m=1..n{cos（-2*Pi*k/n*m！）/n。前500项的公式已验证_Mats Granvik，2021年2月26日

%F极限{n->oo}（1/n）*和{k=2..n}log（a（k））/log（k）=A084945（Finch，1999）_Amiram Eldar，2021年7月4日

%e 1！=1，但显然8不能除以1。

%e 2！=2，但8不除以2。

%e 3！=6，但8不除以6。

%e 4！=24，8除以24。因此a（8）=4。

%e然而，9不除以24。

%e 5！=120，但9不划分120。

%e 6！=720，9除以720。因此a（9）=6。

%p a:=proc（n）local b:b:=proc（m）if type（m！/n，integer）then m else fi end:[seq（b（m），m=1..100）][1]：end:seq（a（n），n=1..84）；#_Emeric Deutsch，2005年8月1日

%p g：=进程（p，u）

%p局部i，t；

%p t：=0；

%i从1开始为p，而t<u do

%p t：=t+1+padic[ordp]（i，p）；

%p od；

%p p*（i-1）

%p端；

%p A002034:=x->max（映射（g@op，ifactors（x）[2]））；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2014年4月20日

%t Do[m=1；While[！IntegerQ[m！/n]，m++]；打印[m]，{n，85}]（*或较大的n的*）

%t肯普纳[1]：=1；Kempner[n_]：=最大值[Kempner@@@FactorInteger[n]]；肯普纳[p_，1]：=p；Kempner[p_，alpha_]：=Kempner[p，alpha]=模块[{a，k，r，i，nu，k0=alpha（p-1）}，i=nu=Floor[Log[p，1+k0]]；a[1]=1；a[n]：=（p^n-1）/（p-1）；k[nu]=商[alpha，a[nu]]；r[nu]=α-k[nu]a[nu]；当[r[i]>0时，k[i-1]=商[r[i]，a[i-1]；r[1]=r[i]-k[i-1]a[i-1]；i——]；k0+Plus@@k/@范围[i，nu]]；表[Kempner[n]，{n，85}]（*_Eric W.Weisstein_，基于Kempner's的公式，2004年5月17日*）

%t用[{facts=Range[100]！}，Flatten[Table[Position[facts，_？（Divisible[#，n]&），{1}，1]，{n，90}]]（*_哈维·P·戴尔，2013年5月24日*）

%o（PARI）a（n）=如果（n<0.0，s=1；而（s！%n>0，s++）；s）

%o（PARI）a（n）=我的（s=系数（n）[，1]，k=s[#s]，f=Mod（k！，n））；而（f，f*=k++）；2012年2月28日，卡尔斯·R·格里特豪斯四号

%o（PARI）valp（n，p）=我的（s）；而（n＝p，s＋＝n）；秒

%o K（p，e）=如果（e<=p，返回（e*p））；我的（t=e*（p-1）\p*p）；而（valp（t+=p，p）<e，）；t吨

%o a（n）=我的（f=系数（n），m=1）；对于（i=1，#f~，m=最大值（K（f[i，1]，f[i、2]），m））；2013年7月30日，m \\_Charles R Greathouse IV

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（elemIndex）

%o导入数据。也许（来自Just）

%o a002034 1=1

%o a002034 n=来自Just（a092495 n `elemIndex`a000142_list）

%o--_Reinhard Zumkeller，2011年8月24日

%o（Python）

%o来自sympy导入阶乘

%o定义a（n）：

%o m=1

%o为True时：

%o如果阶乘（m）%n==0：返回m

%其他：m+=1

%o[a（n）代表范围（1101）内的n]#_Indranil Ghosh，2017年4月24日

%o（Python）

%o来自sympy进口保理商

%o定义值（n，p）：

%o s=0

%o，而n:n//=p；s+=n

%o返回s

%o定义K（p，e）：

%o如果e<=p：返回e*p

%o t=e*（p-1）//p*p

%o而valp（t，p）<e:t+=p

%o返回t

%o定义A002034（n）：

%o如果n==1，则返回1 else max（K（p，e）for p，e in factorint（n）.items（））

%o打印（[A002034（n）代表范围（185）内的n）]）#_Michael S.Branicky_，2022年6月9日，查尔斯·格里塔斯四世之后_

%Y参见A000142、A001113、A006530、A007672、A046022、A057109、A064759、A084945、A094371、A09437.2、A094404、A122378、A1223709、A122416、A12241、A248937（费米-迪拉克模拟：使用n>1的唯一表示作为A050376不同术语的乘积）。

%Y有关高维推广，请参见A339594-A339596。

%K nonn，很好，很容易

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E第45期错误，由_David W.Wilson修正，1997年5月15日