%I M2508 N0992#219 2023年10月14日17:49:50

%S 1,1,3,5,35,63231429643512155461898817967603913000755014575，

%电话：96948453005401955834015552268783825441815797534461632205，

%电话：6728223405263012370465514589420475806190092077515301325804719

%N分子展开为1/sqrt（1-x）。

%C也是二项式（2n，n）/4^n的分子（参见A046161）。

%C也是e的分子（n-1，n-1）（见枫叶线）。

%C归一化勒让德多项式的超前系数。

%C用勒让德多项式P_ n（x）表示的x的幂展开的公约数。

%C二项式（2n，n）/2^n.-T.D.Noe_的分子，2005年11月29日

%C这个序列给出了洛伦兹因子（见维基百科链接）的麦克劳林级数的分子1/sqrt（1-b^2）=dt/dtau，其中b=u/C是光速C的速度，u是在测量时间t的参考系中观察到的速度，tau是适当的时间_斯蒂芬·克劳利（Stephen Crowley），2007年4月3日

%C有理表达式的截断，如分子运算符给出的截断，是整数公式中的伪影，有许多缺点。下面是一个纯整数公式。设n$表示摆动阶乘，sigma（n）=楼层（n/2）的base-2表示中‘1’的个数。那么a（n）=（2*n）$/西格玛（2*n）=A056040（2*m）/A060632（2*n+1）。简单地说：这个序列是偶数指数下摆动阶乘的奇数部分_Peter Luschny_，2009年8月1日

%C似乎a（n）=A060818（n）*A001147（n）/A000142（n）_James R.Buddenhagen，2010年1月20日

%序列二项式（2n，n）/4^n与其自身的卷积是所有项均为1的常数序列。

%C a（n）等于超几何2F1的分母[1/2，n，1+n，-1]（参见下面的数学代码）_John M.Campbell，2011年7月4日

%C a（n）=2^n*n的分母*不/（2*n）！.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2011年11月26日

%C a（n）=（1/Pi）*积分{x=-oo..+oo}1/（x^2-2x+2）^n dx.-的分子_Leonid Bedratyuk，2012年11月17日

%C a（n）=cos（x）^（2*n）从x=0到2*Pi.-平均值的分子_Jean-François Alcover，2013年3月21日

%C也是arcsin（x）展开式中的分子_Jean-François Alcover，2013年5月17日

%C归一化勒让德多项式的常数项_汤姆·科普兰，2016年2月4日

%C From _Ralf Steiner，2017年4月7日：（开始）

%C通过对整个复平面的解析延拓，发散和存在正则值：

%Ca（n）/A060818（n）=（-2）^n*sqrt（Pi）/（伽马（1/2-n）*Gamma（1+n））。

%C和{k>=0}a（k）/A060818（k）=-i。

%C和{k>=0}（-1）^k*a（k）/A060818（k）=1/sqrt（3）。

%C和{k>=0}（-1）^（k+1）*a（k）/A060818（k）=-1/sqrt（3）。

%Ca（n）/A046161（n）=（-1）^n*sqrt（Pi）/（伽马（1/2-n）*Gamma（1+n））。

%C和{k>=0}（-1）^k*a（k）/A046161（k）=1/sqrt（2）。

%C和{k>=0}（-1）^（k+1）*a（k）/A046161（k）=-1/sqrt（2）。（结束）

%C a（n）=（1/Pi）*积分的分子{x=-oo..+oo}1/（x^2+1）^n dx。（n=1是柯西分布。）-Harry Garst，2017年5月26日

%C设R（n，d）=（Product_{j素数到d}Pochhammer（j/d，n））/n！。然后R（n，2）的分子给出了这个序列，分母是A046161。对于d=3，参见A273194/A344402_Peter Luschny_，2021年5月20日

%C使用WolframAlpha，似乎a（n）给出了f（z）=2z剩余的分子，在奇数负半整数处选择z。例如，f（z）在z=-1/2、-3/2、-5/2时的残数分别为1/（2*Pi）、1/（16*Pi_Nicholas Juricic_，2022年3月31日

%C a（n）是（1/Pi）*Integral_{x=-oo..+oo}sech（x）^（2*n+1）dx的分子。相应的分母为A046161.-_穆罕默德·亚辛，2023年7月29日

%Ca（n）是（1/Pi）*Integral_{x=0.Pi/2}sin（x）^（2*n）dx的分子。相应的分母为A101926（n）_穆罕默德·亚辛，2023年9月19日

%D P.J.Davis，《插值与逼近》，多佛出版社，1975年，第372页。

%D W.Feller，《概率论及其应用导论》，第1卷，第2版，纽约：Wiley，1968年；第三章，方程式4.1。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

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%D J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第102页。

%H Robert G.Wilson v，n表，n=0..1666的a（n）

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%H W.G.Bickley和J.C.P.Miller，差分表极限附近的数值微分

%H W.G.Bickley和J.C.P.Miller，<a href=“http://dx.doi.org/10.1080/14786444208521334“>差分表极限附近的数值微分</a>，Phil.Mag.，33（1942），1-12（加法表）。

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%H V.H.Moll，<a href=“http://www.ams.org/notices/200203/fea-moll.pdf“>积分评估：个人故事，美国数学学会通告，49（2002年3月第3期），311-317。

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%H H.E.Salzer，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1948-0023123-5“>用勒让德多项式表示前二十四次幂的系数</a>，《数学比较》，3（1948），16-18。

%H J.Ser，《工厂的法律形式》，巴黎，Gauthier-Villars，1933年[本地副本]。

%H J.Ser，<a href=“/A002720/A002720.pdf”>Les Calculs Formels des Séries de Factorielles</a>（一些选定页面的注释扫描）

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BinomiumSeries.html“>二项式级数</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html“>Legendre多项式</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_factor“>洛伦兹系数</a>。

%F a（n）=A000984（n）/A001316（n），其中A001316（m）是2除以C（2n，n）=A000984（m）的最高幂_Benoit Cloitre_，2002年1月27日

%F a（n）=分子（L（n）），有理L（n。

%F L（n）=（2*n-1）/不！使用双阶乘（2*n-1）！！=A001147（n），n>=0。

%F分子in（1-2t）^（-1/2）=1+t+（3/2）t^2+（5/2）t*3+（35/8）t*4+（63/8）t*5+（231/16）t*6+（429/16）t*7+…=1+t+3*t^2/2！+15*t^3/3！+105*t^4/4！+945*t^5/5！+…=例如，对于双因子A001147（参见A094638）_汤姆·科普兰，2013年12月4日

%F From _Ralf Steiner，2017年4月8日：（开始）

%F a（n）/A061549（n）=（-1/4）^n*平方（Pi）/（伽马（1/2-n）*伽马（1+n））。

%F和{k>=0}a（k）/A061549（k）=2/sqrt（3）。

%F和{k>=0}（-1）^k*a（k）/A061549（k）=2/sqrt（5）。

%F和{k>=0}（-1）^（k+1）*a（k）/A061549（k）=-2/sqrt（5）。

%F a（n）/A123854（n）=（-1/2）^n*平方（Pi）/（伽马（1/2-n）*伽马（1+n））。

%F和{k>=0}a（k）/A123854（k）=sqrt（2）。

%F和{k>=0}（-1）^k*a（k）/A123854（k）=sqrt（2/3）。

%F和{k>=0}（-1）^（k+1）*a（k）/A123854（k）=-sqrt（2/3）。（结束）

%F a（n）=2^A007814（n）*（2*n-1）*a（n-1）/n.-_John Lawrence_，2020年7月17日

%e 1、1、3/2、5/2、35/8、63/8、231/16、429/16、6435/128、12155/128、46189/256。。。

%二项式（2n，n）/4^n=>1，1/2，3/8，5/16，35/128，63/256，231/1024，429/2048，6435/32768。。。

%p e：=进程（l，m）局部k；加上（2^（k-2*m）*二项式（2*m-2*k，m-k）*二项式（m+k，m）*二项式（k，l），k=l.m）；结束；

%p#From_Peter Luschny_，2009年8月1日：（开始）

%p swing:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则1 elif irem（n，2）=1，然后swing（n-1）*其他4*swing（n-1）/n fi结束：

%pσ：=n->2^（加上（i，i=转换（iquo（n，2），基数，2））：

%p a:=n->摆动（2*n）/西格玛（2*n）；#（结束）

%p A001790:=过程（n）二项式（2*n，n）/4^n；数字（%）；结束程序：#R.J.Mathar，2013年1月18日

%t分子[系数列表[系列[1/Sqrt[（1-x）]，{x，0，25}]，x]]

%t表[分母[超几何C2F1[1/2，n，1+n，-1]]，{n，0，34}]（*_John M.Campbell_，2011年7月4日*）

%t分子[表[（-2）^n*Sqrt[Pi]/（伽马[1/2-n]*Gamma[1+n]），{n，0,20}]]（*_Ralf Steiner_，2017年4月7日*）

%t分子[表[二项式[2n，n]/2^n，{n，0，25}]]（*_Vaclav Kotesovec_，2017年4月7日*）

%t表格[分子@LegendreP[2n，0]*（-1）^n，{n，0，25}]（*_Andres Cicuttin_，2018年1月22日*）

%tA={1}；Do[A=附加[A，2^整数指数[n，2]*（2*n-1）*A[[n]]/n]，{n，1，25}]；打印[A]（*_John Lawrence_，2020年7月17日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（pollegendre（n），n）*2^估值（（n\2*2）！，2））}；

%o（PARI）a（n）=二项式（2*n，n）>>hammingweight（n）；\\_Gleb Koloskov，2021年9月26日

%o（鼠尾草）#使用[A000120]

%o@CachedFunction

%o定义摆动（n）：

%o如果n==0：返回1

%o返回摆度（n-1）*n，如果is_add（n），则为4*摆度（n-1）/n

%o A001790=λn：摆动（2*n）/2^A000120（2*n）

%o[A001790（n）代表（0..25）中的n]#_Peter Luschny_，2012年11月19日

%Y参考A001800、A001801、A008316、A046161。

%Y三角形A100258的第一列和对角线1。

%A036069的Y剖分。

%Y参考A005187，A060818（n）=分母（L（n））。等分表示A061548和A063079。

%Y发件人：Johannes W.Meijer，2009年6月8日：（开始）

%Y参考A001803[（1-x）^（-3/2）]、A161199[（1-x）^。

%Y A161198三角形，与n的所有值的（1-x）^（（-1-2*n）/2）的级数展开有关。

%Y（结束）

%Y A163590是摆动阶乘A001803在奇数指数下的奇数部分。

%A180403/A046161的Y Moebius逆变换_Mats Granvik，2010年9月4日

%Y参考A123854（分母），A061549（分母_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2017年4月8日

%K nonn，轻松，好，压裂

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_