%I M4651 N1990#81 2023年1月25日11:50:25

%S 1,9,74638594460216662640789384013788801397759040，

%电话：20606463360323626565600539597237760095218662067200，

%U 1773217155225600347581882335744007154379480729600001542968057756160000034796812973497344000081906004385339904000000

%N广义斯特林数。

%C高阶指数积分E（x，m=2，n=4）~exp（-x）/x^2*（1-9/x+74/x^2-638/x^3+5944/x^4-60216/x^5+662640/x^6-…）的渐近展开得到了上述序列。更多信息请参见A163931和A028421_Johannes W.Meijer，2009年10月20日

%C From _Petros Hadjicostas，2020年6月23日：（开始）

%C对于非负整数n，m和复数a，b（b<>0），数R_n^m（a，b）是由Mitrinovic（1961）和Mitrinovis and Mitrinovi（1962）引入的，使用的符号略有不同。

%这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}（x-（a+b*r））=Sum_{m=0..n}r_n^m（a，b）*x^m定义的，当n>=0时。

%C因此，R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n-1}^m。

%在a=0和b=1的情况下，我们得到了n，m>=0的第一类Stirling数S1（n，m）=R_n^m（a=0，b=1）=A048994（n，m）。

%对于n>=m>=0，我们有R_n^m（a，b）=Sum_{k=0}^{n-m}（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*S1（n，m+k）。

%对于当前序列，对于n>=0，a（n）=R_{n+1}^1（a=-4，b=-1）。（结束）

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..100的a（n）</a>

%H D.S.Mitrinovic，<a href=“https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k762d/f996.image.r=1961%20mitrinovic“>《Stirling科学图书馆》，巴黎科学院，第252卷（1961年），第2354-2356页。[引入了数字R_n^m（a，b）。]

%H D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，<a href=“https://www.jstor.org/stable/43667130“>表aux d'une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling</a>，贝尔格莱德大学，电子出版，传真，Ser.Mat.Fiz.，第77号（1962年），1-77[jstor稳定版]。

%H D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，<a href=“http://pefmath2.etf.rs/files/47/77.pdf“>表aux d'une class e de nombres relisés aux nombres-de Stirling，贝尔格莱德大学，Elektrotehn出版社，Fak.Ser.Mat.Fiz.No.77（1962），1-77。

%H J.Riordan，1974年11月4日的信函。

%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*（k+1）*4^k*斯特林1（n+1，k+1）.-Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro），2004年1月26日

%F a（n-1）=n*当n>=1时，求和{k=0..n-1}（-1）^k*二项式（-4，k）/（n-k）。[Milan Janjic_，2008年12月14日][由_Petros Hadjicostas_编辑，2020年6月23日]

%F a（n）=n！*[3] h（n），其中[k]h（n。[_Gary Detlefs_，2011年1月4日]

%F a（n）=（n+1）！*和{k=0..n}（-1）^k*二项式（-4，k）/（n+1-k）。[_Gary Detlefs_，2011年7月16日]

%F a（n）=（n+4）！*Sum_｛k=1..n+1}1/（k+3）/6。[_Gary Detlefs_，2011年9月14日]

%F例如F.（对于偏移量1）：1/（1-x）^4*log（1/（1-x））_瓦茨拉夫·科泰索维奇，2014年1月19日

%F例如：（1+4*log（1/（1-x）））/（1-x）^5.-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年1月23日

%F From _Petros Hadjicostas，2020年6月23日：（开始）

%F a（n）=[x]产品{r=0..n}（x+4+r）=（产品{r=0...n}（4+r））*求和{i=0..n{1/（4+1）。

%F由于a（n）=R{n+1}^1（a=-4，b=-1）和R_n^m（a，b）=R_{n-1}^{m-1}（a，b）-（a+b*（n-1））*R_{n_1}^m（a，b），我们得出如下结论：

%F（i）a（n）=（n+3）/n>=1时为6+（n+4）*a（n-1）；

%对于n>=2，F（ii）a（n）=（2*n+7）*a（n-1）-（n+3）^2*a（n-2）。（结束）

%t f[k]：=k+3；t[n_]：=表[f[k]，{k，1，n}]；a[n_]：=对称多项式[n-1，t[n]]；表[a[n]，{n，1，16}]（*_Clark Kimberling_2011年12月29日*）

%t静止[系数列表[级数[（1-x）^（-4）*Log[1/（1-x）]，{x，0,20}]，x]*范围[0,20]！]（*_Vaclav Kotesovec_，2014年1月19日*）

%o（PARI）R（n，m，a，b）=总和（k=0，n-m，（-1）^k*a^k*b^（n-m-k）*二项式（m+k，k）*stirling（n，m+k），1）；

%o aa（n）=R（n+1，1，-4，-1）；

%o（n=0，19，print1（aa（n），“，”））\\_Petros Hadjicostas_，2020年6月23日

%Y与n相关*谐波数的第k次连续求和：k=0..A000254，k=1..A001705，k=2..A001711，k=3..A00171，k=4..A001721，k=5..A051524，k=6..A051545，k=7..A051560，k=8..A05156，k=9..A051664。

%K nonn公司

%0、2

%A·N·J·A·斯隆_

%E更多来自Borislav Crstici（bcrstici（AT）etv.utt.ro）的术语，2004年1月26日