%I M0769 N0294#637 2024年4月20日07:24:53

%S 1,1,2,3,6,10,20,35,701262524629241716343264351287024310，

%电话：486209237818475635271670543213520782704156520030010400600，

%电话：2005830040116600775587601551175203005401956010803901166803110

%N a（N）=二项式（N，楼层（N/2））。

%C Sperner定理说，这是一个n-集的子集的最大数量，使得没有一个子集包含另一个子集。

%C当根据指数-1计算时，[seq（二项式（n，下限（n/2）），n=-1..30）]；->[1,1,1,2,3,6,10,20,35,70126，…]并用加气加泰罗尼亚数[seq（（n+1）mod 2）*二项式（n，n/2）/（n/2）+1），n=0..30）]卷积；->[1,0,1,0,2,0,5,0,14,0,42,0132,0，…]左移一位：[1,1,2,3,6,10,20,35,70126252，…]如果再次与加气加泰罗尼亚数卷积，则给出A037952，与初始项分开_Antti Karttune_，2001年6月5日【这是正确的，因为g.f.满足（1+x*g001405（x））*g126120（x）=g001405x）和g001405-x*g126120x）=g037952（x）/x.-R.J.Mathar_，2021年9月23日】

%C具有n+1个边的有序树的数量，非根节点的超度数为0或2。-_Emeric Deutsch，2002年8月2日

%C给出了当n>=1时，Vandermonde矩阵（a_ij）i=0..n-1，j=0..n-1的逆的最大绝对列和范数，其中a_00=1，a_ij=i^j是（i，j）！=(0,0). - _Torsten Muetze_，2004年2月6日

%C Riordan数组（1/（1-2x），-x/（1-2x））或A065109下加泰罗尼亚数字A000108的图像_保罗·巴里（Paul Barry），2005年1月27日

%C Dyck路径的左因子数，由n个步骤组成。例如：a（4）=6，因为我们有UDUD、UDUU、UUDD、UUDU、UUUD和UUUU，其中U=（1,1）和D=（1，-1）_Emeric Deutsch，2005年4月23日

%C长度为n的离散Dyck路径数；它们被定义为Dyck路径和x轴上的（1,0）阶跃的串联；等价地，正高度处无（1,0）阶的Motzkin路径。例如：a（4）=6，因为我们有HHHH、HHUD、HUDH、UDHH、UDUD和UUDD，其中U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1）_Emeric Deutsch，2011年6月4日

%Ca（n）是奇的，当n=2^k-1_Jon Perry_，2005年5月5日

%C二项式（1，n）=（1,1,0,0,0，…）的逆Chebyshev变换，其中g（x）->（1/sqrt（1-4*x^2））*g（x*C（x^2_保罗·巴里，2005年5月13日

%C在数列上的随机游走中，从0开始，第一步后以0吸收，n步后以正整数结束的方式有很多_Joshua Zucker，2005年7月31日

%C与0模q同余的形式Sum_{i=1..n}e（i）*a（i）的最大和数，其中e_i=0或1，gcd（a_i，q）=1，前提是q>上限（n/2）_Ralf Stephan，2003年4月27日

%C高度<=2.-的标准表数量_Mike Zabrocki，2007年3月24日

%该序列的C Hankel变换形式为A000012=[1,1,1,1,1,1,1，…]_Philippe Deléham_，2007年10月24日

%C A001263*[1，-2，3，-4，5，…]=[1，-1，-2，3,6，-10，-20，35，70，-126，…].-_Gary W.Adamson_，2008年1月2日

%C等于三角形A153585的右边界。-_Gary W.Adamson_，2008年12月28日

%C A168491.-的第二个二项式变换_菲利普·德雷厄姆，2009年11月27日

%C a（n）也是长度为n的不同字符串的数量，每个字符串都是平衡括号字符串的前缀；参见示例_Lee A.Newberg，2010年4月26日

%C n对括号对称平衡串的个数；参见示例_Joerg Arndt_2011年7月25日

%C a（n）是模2的置换模式数_奥利维尔·杰拉德，2011年2月25日

%C对于n>=2，a（n-1）是2*n-1珠子的不一致双色手镯数量，其中n个是黑色（A007123），直径对称_Vladimir Shevelev，2011年5月3日

%C n个元素的排列数，其中p（k-2）<p（k）对于所有k.-_Joerg Arndt_，2011年7月23日

%C在abc<-->cba形式的位置相邻元素的变换下，包含单位置换的S_{n+1}等价类的大小，其中a<b<C，参见A210668.-_Tom Roby_，2012年5月15日

%C a（n）是长度为2n的对称Dyck路径数_Matt Watson，2012年9月26日

%C a（n）可被A000108（楼层（n/2））=abs（A129996（n-2））整除_Paul Curtz，2012年10月23日

%C a（n）是长度n避开经典意义上的213和231的排列数，它们是递增一元二叉树的第一个搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅A245898中避免231排列的条目_曼达·里尔，2014年8月5日

%C形状（n，n）对称标准Young表的数量_Ran Pan_，2015年4月10日

%C From _Luciano Ancora_，2015年5月9日：（开始）

%C也是由所有1序列的部分和（或显示为正方形的帕斯卡三角形）组成的数组中的“阶梯路径”。例子：

%C[1]、[1]、1、1、1,1、1。。。A000012号

%C1、[2]、[3]、4、5、6、7。。。

%C1、3、[6]、[10]、15、21、28。。。

%C1、4、10、[20]、[35]、56、84。。。

%C1、5、15、35、[70]、[126]、210。。。

%第二个公式中的C序列是此数组中显示的混合对角线。（结束）

%Ca（n）=A265848（n，n）_Reinhard Zumkeller_，2015年12月24日

%C常数和{n>=0}a（n）/n！为1+A130820.-_Peter Bala，2016年7月2日

%C从{-1,1}开始n步的曲流数（从原点开始，在任何高度>=0，可能接触到x轴，但永远不会低于x轴）_David Nguyen，2016年12月20日

%C a（n）也是以沿路径获得的最大值结束的n个步骤的路径数（向上或向下增加1）_Winston Luo，2017年6月1日

%C二进制n元组的数量，使得偶数位置的1的数量与奇数位置的1的数量相同。-_Juan A.Olmos，2017年12月21日

%等价地，a（n）是{1，…，n}的子集数，其中包含的偶数和奇数一样多_Gus Wiseman_，2018年3月17日

%C a（n）是半长=n+1的Dyck路径数，返回到x轴=floor（（n+3）/2），奇数位置的向上运动=floor。示例：a（4）=6，U=奇数位置的向上运动，U=偶数位置的上运动，d=向下运动，-=返回x轴：Uududd-Ud-Ud-，Ud-Uudd-Uudd-，Uudd-Ud-_罗杰·福特，2017年12月29日

%C设C_n（R，H）表示n阶非交换对称函数代数从带状基到分次分量齐次基的转移矩阵)始终等于a（n-1）_John M.Campbell，2018年3月30日

%CŁukasiewicz路径的U等价类数。Łukasiewicz路径是U等价的，如果模式U在这些路径中的位置相同_谢尔盖·柯尔吉佐夫，2018年4月

%C所有长度为2n的二进制自对偶码，对于n>0，必须包含至少一个重量为n的（n）码字。更重要的是，总是会有至少一个长度为2n的二进制自对偶码，可能是唯一的，它将正好包含一个重量等于码长（n）一半的汉明码字。该代码可以通过将长度为2的唯一二进制自对偶码（直到置换等价）直接求和到自身n次来构造。通过将两个长度为n的单位矩阵相加，可以构造置换等价码_Nathan J.Russell，2018年11月25日

%C根据附加条款关闭。-_托拉赫·拉什，2019年4月18日

%C序列开始（1，2，3，6，…）是A097331的逆变换：（1，1，0，1，O，2，0，5，0，14，0，42，…）_Gary W.Adamson，2020年2月22日

%C来自_Gary W.Adamson_，2020年2月24日：（开始）

%C序列是收敛于2*cos（Pi/N），N=（3，5，7，9，…）的无限序列集的极限。

%C前几个这样的序列是：

%C N=3：（1，1，1

%C N=5：（1、1、2、3、5、8、13、21…）=A000045

%C N=7：（1，1，2，3，6，10，19，33，…）=A028495，a（N）/a（N-1）趋于1.801937。。。

%C N=9（1，1，2，3，6，10，20，35，…）=A061551，a（N）/a（n1）趋于1.879385。。。

%C。。。

%C在极限值中，得到比率为2的电流序列。（结束）

%C a（n）也是从（0,0）到（地板（n/2），天花板（n/2。这是n为偶数时Grand Dyck路径的数量。-_Nachum Dershowitz，2020年8月12日

%C长度为n+1的排列在连续132-避免堆叠排序映射下可以具有的最大预图像数。-_Colin Defant，2020年8月28日

%C计数n长度的法罗置换。法罗置换是避开三个连续模式231、321和312的置换。它们是由两个长度最多相差一个的非减词进行完美的法罗洗牌得到的_谢尔盖·柯尔吉佐夫，2021年1月12日

%C Per“Sperner定理”，最大可能的有限集族，其中不包含族中的任何其他集。-_Renzo Benedetti，2021年5月26日

%C a（n-1）是由n个台阶组成的不完整的原始Dyck路径，没有第一个返回：U和D台阶的路径从原点开始，以后从不接触水平轴，在水平轴上方结束。n=1:{U}，n=2:{UU}。比较：A037952统计具有n个步骤的不完整Dyck路径，其中任何数量的中间返回到水平轴，结束于水平轴之上_R.J.Mathar，2021年9月24日

%C a（n）是[n]的非交叉分区数，其非平凡块为{a，b}类型，a<=n/2，b>n/2。-_弗朗西丝卡·艾卡迪（Francesca Aicardi），2022年5月29日

%C（1+x）^n.-Vaclav Kotesovec_的最大系数，2022年12月30日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。

%D M.Aigner和G M.Ziegler，《书证》，Springer-Verlag出版社，柏林，1999年；见第135页。

%D K.Engel，斯珀纳理论，剑桥。大学出版社，1997年；定理1.1.1。

%D P.Frankl，极值集系统，R.L.Graham等人，编辑，《组合数学手册》，北荷兰人。

%D J.C.P.Miller，编辑，《二项式系数表》。英国皇家学会数学表，第3卷，剑桥大学出版社，1954年。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第2卷，1999年；见问题7.16（b），第452页。

%H G.C.Greubel，<a href=“/A001405/b001405.txt”>n，a（n）表，n=0..1000</a>（术语0至200由T.D.Noe计算）

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准应用数学局，第55辑，第十版，1972年。

%H M.Aigner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.06.012“>通过选票数进行枚举，《离散数学》，第308卷（2008年），第2544-2563页。

%H A.Asinowski和G.Rote，<A href=“https://arxiv.org/abs/1502.04925“>具有许多非交叉匹配的点集</a>，arXiv预打印arXiv:1502.04925[cs.CG]，2015。

%H Shaun V.Ault和Charles Kicey，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2014.05.020“>使用圆形帕斯卡数组计算走廊中的路径，《离散数学》，第332卷（2014年10月），第45-54页。

%H Axel Bacher，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.06030“>改进Florentine算法：Motzkin和Schröder路径的恢复算法</a>，arXiv:1802.06030[cs.DS]，2018。

%H Armen G.Bagdasaryan和Ovidiu Bagdassar，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.endm.2018.05.012“>关于广义算术三角形的一些结果，《离散数学电子笔记》，第67卷（2018年），第71-77页。

%H Taylor Ball、David Galvin、Katie Hyry和Kyle Weingartner，<a href=“https://arxiv.org/abs/1901.06579“>独立集和匹配置换，arXiv:1901.06579[math.CO]，2019。

%H.C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner，<A href=“https://arxiv.org/abs/1609.06473“>晶格路径枚举的显式公式：basketball和核方法</a>，arXiv预打印arXiv:1609.06473[math.CO]，2016。

%H Elena Barcucci、Antonio Bernini和Renzo Pinzani，<a href=“http://ceur-ws.org/Vol-2113/paper7.pdf“>正格路径的穷尽生成</a>，2018年语义传感器网络研讨会，CEUR研讨会论文集（2018）第2113卷。

%H Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.01293“>模块化某些模式的Łukasiewicz路径枚举，arXiv:1804.01293[math.CO]，2018。

%H Jean-Luc Baril和A.Petrossian，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Baril/baril3.html“>Motzkin路径模至多两个长度模式的等价类，J.Int.Seq.，第18卷（2015），第15.7.1条。

%H Jean-Luc Baril、Alexander Burstein和Sergey Kirgizov，<a href=“https://arxiv.org/abs/2010.06270“>faro单词和排列的模式统计</a>，arXiv:2010.06270[math.CO]，2020。见表1。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Barry2/barry73.html“>关于加泰罗尼亚语类数单参数族的注释，JIS，第12卷（2009年），第09.5.4条。

%H Paul Barry，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL22/Barry1/barry411.html“>类帕斯卡三角形和彩色格点路径族的中心系数，J.Int.Seq.，Vol.22（2019），Article 19.1.3。

%H Paul Barry和A.Hennessy，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry1/barry202.html“>四项递归、正交多项式和Riordan数组</a>，整数序列杂志，第15卷（2012），第12.4.2.-条发件人：N.J.A.Sloane，2012年9月21日

%H F.Bergeron、L.Favreau和D.Krob，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（94）00148-C“>关于有界高度表枚举的猜想，《离散数学》，第139卷，第1-3期（1995年），第463-468页。

%H Miklós Bóna、Cheyne Homberger、Jay Pantone和Vince Vatter，<a href=“https://arxiv.org/abs/1310.7003“>避免模式对合：精确和渐近枚举，arxiv:1310.7003[math.CO]，2013。

%H A.Bostan，<A href=“https://www-apr.lip6.fr/sem-comb-slides/IHP-bostan.pdf“>格路组合数学的计算机代数，Seminaire de Combinatoire Ph.Flajolet，2013年3月28日。

%H Alin Bostan和Manuel Kauers，<a href=“https://arxiv.org/abs/0811.2899“>受限格点行走的自动分类</a>，arXiv:0811.2899[math.CO]，2009。

%H Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard，<a href=“https://arxiv.org/abs/2001.00393“>Stieltjes避免模式置换的矩序列</a>，arXiv:2001.00393[math.CO]，2020。

%H Henry Bottomley，初始术语说明。

%H J.M.Campbell，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.disc.2016.09.025“>在带状基础上完美函数的扩展，《离散数学》，第340卷（2017年），第1716-1726页。

%H Colin Defant和Kai Zheng，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.12297“>Stack-Sorting with Consecutive-Pattern-Avoiding Stacks，arXiv:2008.12297[math.CO]，2020年。

%H Isaac DeJager、Madeleine Naquin和Frank Seidl，<a href=“https://www.valpo.edu/mathematics-statistics/files/2019/08/Drube2019.pdf“>高阶彩色莫茨金路径，VERUM 2019。

%H F.Disanto、A.Frosini和S.Rinaldi，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Rinaldi/square.html“>平方对合，J.Int.Seq.14（2011）#11.3.5。

%H F.Disanto和S.Rinaldi，<a href=“http://puma.dimai.unifi.it/22_1/2-disanto_rinaldi.pdf“>对称凸置换和对合</a>，PU.M.a.，第22卷，第1期（2011年），第39-60页。

%H Justine Falque、Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，<a href=“https://arxiv.org/abs/20106.05248“>重访Pinnacle集，arXiv:2106.05248[math.CO]，2021。

%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第77页。

%H J.R.Griggs，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/9304211“>关于残差和的分布，arXiv:math/9304211[math.NT]，1993年。

%H O.Guibert和T.Mansour，<a href=“http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s48guimans.html“>限制性132次变革，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B48a，23页，2002年。

%H H.Gupta，<a href=“https://web.archive.org/web/200806162943/http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJPAM/2005a66_964.pdf“>不一致循环k-gons的枚举，印度J.Pure和应用数学，第10卷，第8期（1979年），第964-999页。

%H R.K.盖伊，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/GUY/catwalks.html“>马道、沙阶和帕斯卡金字塔，J.Integer Seq.，第3卷（2000年），第00.1.6条。

%H Zachary Hamaker和Eric Marberg，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.09805“>符号置换的原子</a>，arXiv:1802.09805[math.CO]，2018。

%H F.Harary和R.W.Robinson，<a href=“/A00108/A000108_18.pdf”>非手性树的数量</a>，Jnl。Reine Angewandte Mathematik，第278卷（1975年），第322-335页。（带注释的扫描副本）

%H Aoife轩尼诗，<a href=“http://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesses.pdf“>《Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究》，沃特福德理工学院博士论文，2011年10月。

%H Zoe M.Himwich和Noah A.Rosenberg，<A href=“https://arxiv.org/abs/1901.04465“>非匹配毛虫基因树和物种树的道路阻塞单调路径和合并历史计数</a>，arXiv:1901.04465[q-bio.pE]（2019）；Adv.Appl.Math.113（2020），101939。

%H Cheyne Homberger，<a href=“https://arxiv.org/abs/1410.2657“>排列和对合的模式：结构和枚举方法，arXiv预印本1410.2657[math.CO]，2014。

%H W.Cary Huffman和Vera Pless，<a href=“https://doi.org/10.1017/CBO9780511807077“>《纠错码基础》，剑桥大学出版社，2003年，第7、252-282、338-393页。

%H克里斯蒂安·克拉蒂塔勒（Christian Kreattehaler）和丹尼尔·雅库比（Daniel Yaqubi），<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.05990“>路径生成函数的一些行列式，II</a>，高级应用数学，第101卷（2018年），第232-265页。

%H Jean-Philippe Labbé和Carsten Lange，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.07978“>寒武纪无环域：计算c-singleton，arXiv:1802.07978[math.CO]，2018。

%H J.W.Layman，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/LAYMAN/hankel.html“>Hankel变换及其一些性质</a>，J.Integer Sequences，4（2001），#01-1.5。

%H P.Leroux和E.Rassart，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/9901135“>平行四边形多边形对称类的枚举</a>，arXiv:math/9901135[math.CO]，1999。

%H Steven Linton、James Propp、Tom Roby和Julian West，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Roby/roby4.html“>约束转置生成的各种关系下置换的等价类，整数序列杂志，第15卷（2012），第12.9.1条。

%H D.Lubell，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800（66）80035-2“>Sperner引理的简短证明，J.Combina.Theory，Vol.1（1966），p.299。

%H Piera Manara和Claudio Perelli Cippo，<a href=“http://puma.dimai.unifi.it/22_2/manara_perelli-cippo.pdf“>4321避免对合和321避免对合的精细结构</a>，PU.M.a.第22卷（2011），第227-238页。

%H Eric Marberg和Brendan Pawlowski，<a href=“https://arxiv.org/abs/1806.11208“>符号对合的Stanley对称函数</a>，arXiv:1806.11208[math.CO]，2018。

%H Victor Meally，《Motzkin论文“气缸编号排序……”中给出的几个序列的比较》，致N.J.a.Sloane，N.D</a>

%H D.Merlini，<a href=“https://doi.org/10.46298/dmtcs.3323“>某些格路径下方区域的生成函数</a>，离散数学和理论计算机科学AC，2003217-228。

%H T.S.Motzkin，《组合数学》程序。交响乐团。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[带注释的扫描副本]

%H M.A.Narcowich，<A href=“http://www.jstor.org/stable/2028770“>问题73-6，SIAM评论，第16卷，第1期，1974年，第97页。

%H Ran Pan，<a href=“http://www.math.ucsd.edu/~projectp/warmups/eP.html“>练习P，项目P。

%H Saulo Queiroz、Joáo Vilela和Edmundo Monteiro，<a href=“https://doi.org/10.109/WD.2019.8734233“>带索引调制的OFDM的索引选择器任务的成本是多少？</a>，2019无线日（WD）。

%H Saulo Queiroz、Joáo P.Vilela和Edmundo Monteiro，<a href=“https://arxiv.org/abs/2002.09382“>带索引调制的OFDM最佳映射器：光谱计算分析，arXiv:2002.09382[eess.SP]，2020。另请参见<a href=“https://doi.org/10.109/ACCESS.2020.2986131“>IEEE接入（2020）第8卷，68365-68378。

%H Alon Regev、Amitai Regev和Doron Zeilberger，<a href=“https://arxiv.org/abs/1507.03499“>S_n字符表中的标识，arXiv预打印arXiv:1507.03499[math.CO]，2015。

%H R.W.Robinson、F.Harary和A.T.Balaban，《手性和非手性烷烃以及单取代烷烃的数量》，《四面体》，第32卷，第3期（1976年），第355-361页。（带注释的扫描副本）

%阿诺德·桑德斯，<a href=“https://arxiv.org/abs/1906.02720“>一类带删除的随机递归树算法，arXiv:1906.02720[math.PR]，2019。

%H V.Shevelev，<a href=“网址：http://www.math.bgu.ac.il/~shevelev/shevelev_Neclaces.pdf“>项链和凸k-gons。

%H V.Shevelev，<a href=“https://arxiv.org/abs/0710.1370“>具有多个变体的双色手镯的计数问题，arXiv:0710.1370[math.CO]，2011年5月5日。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://neilsloan.com/doc/sg.txt“>我最喜欢的整数序列</a>，在sequences and their Applications（Proceedings of SETA'98）中。

%H Emanuel Sperner，<a href=“https://doi.org/10.1007/BF01171114“>Ein Satzüber Untermengen einer endlichen Menge，《数学》（德语），第27卷，第1期（1928年），第544-548页。

%H P.K.Stockmeyer，<a href=“https://doi.org/10.1007/BFb0066456“>魅力手镯问题及其应用</a>，图表与组合学（华盛顿，1973年6月）第339-349页，R.a.Bari和F.Harary编辑。Lect.Notes Math.，第406卷。施普林格·弗拉格，1974年。

%H P.J.Stockmeyer，《魅力手镯问题及其应用》，R.a.Bari和F.Harary编辑，《图形与组合数学》（华盛顿，1973年6月）第339-349页。莱克特。数学笔记。，第406卷。施普林格出版社，1974年。[扫描的带注释和更正的副本]

%H I.Tasoulas、K.Manes、A.Sapounakis和P.Tsikouras，<A href=“https://arxiv.org/abs/1911.10883“>二元路径格中具有小间隔的链，arXiv:1911.10883[math.CO]，2019。

%H C.G.Wagner，致N.J.a.Sloane的信，1974年9月30日。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CentralBinominal系数.html“>中心二项式系数。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/QuotaSystem.html“>配额系统。

%H W.H.W.Wong和E.G.Tay，<a href=“https://arxiv.org/abs/2001.01910“>关于交叉连接的斯珀纳家族，arXiv:2001.01910[math.CO]，2020。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目。

%F a（n）=max_{k=0..n}二项式（n，k）。

%Fα（2*n）=A000984（n），a（2*n+1）=A001700（n）。

%F根据对称性，a（n）=二项式（n，上限（n/2））_Labos Elemer，2003年3月20日

%F P-递归：a（0）=1，a（1）=1；对于n>=2，（n+1）*a（n）=2*a（n-1）+4*（n-1_Peter Bala，2011年2月28日

%F.G.F:（1+x*c（x^2））/sqrt（1-4*x^2；其中c（x）=加泰罗尼亚语数字A00018的g.f。

%固定资产：（-1+2*x+平方（1-4*x^2））/（2*x-4*x*2）_Lee A.Newberg，2010年4月26日

%F G.F.：1/（1-x-x^2/（1-x^2/（1-x*2/（1-x ^2/……（连分数））_保罗·巴里（Paul Barry），2009年8月12日

%F a（0）=1；a（2*m+2）=2*a（2*m+1）；a（2*m+1）=和{k=0..2*m}（-1）^k*a（k）*a（2*m-k）.-_Len Smiley，2001年12月9日

%F.G.F.：（平方（（1+2*x）/（1-2*x））-1）/（2*x_Vladeta Jovovic_，2003年4月28日

%F o.g.F.A（x）满足A（x）+x*A^2（x）=1/（1-2*x）。-_Peter Bala，2011年2月28日

%例如：贝塞尔I（0，2*x）+贝塞尔I_Vladeta Jovovic_，2003年4月28日

%F a（0）=1；a（2*m+2）=2*a（2*m+1）；a（2*m+1）=2*a（2*m）-c（m），其中c（m）=A000108（m）是加泰罗尼亚数字Christopher Hanusa（chanusa（AT）washington.edu），2003年11月25日

%F a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^k*2^（n-k）*二项式（n，k）*A00018（k）.-_保罗·巴里（Paul Barry），2005年1月27日

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项（n，k）*二项（1，n-2*k）.-_保罗·巴里，2005年5月13日

%F From _ Paul Barry，2004年11月2日：（开始）

%F a（n）=Sum_{k=0..floor（（n+1）/2）}（二项式（n+1，k）*（cos（（n-2*k+1）*Pi/2）+sin（（n-2%k+1）*Pi/2）））。

%F a（n）=和{k=0..n+1}，（二项式（n+1，（n-k+1）/2）*（1-（-1）^（n-k））*（cos（k*Pi/2）+sin（k*Pi））/2）。（结束）

%F a（n）=和{k=楼层（n/2）..n}（二项式（n，n-k）-二项式_Paul Barry，2007年9月6日

%F A005773开始的二项式逆变换（1、2、5、13、35、96…）和A001700的二项型逆变换。三角形A132815.-的行和_Gary W.Adamson_，2007年8月31日

%F a（n）=和{k=0..n}A120730（n，k）.-_Philippe Deléham，2008年10月16日

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}（二项式（n，k）-二项式Nishant Doshi（doshinikki2004（AT）gmail.com），2009年4月6日

%F和{n>=0}a（n）/10^（n+1）=0.1123724…=（平方（3）-平方（2））/（2*sqrt（2）；求和{n>=0}a（n）/100^（n+1）=0.01020306102035…=（平方（51）-平方（49））/（2*sqrt（49）_Mark Dols_，2010年7月15日

%F推测：a（n）=2^n*2F1（1/2，-n；2；2），对于坐标从不为负的1-d中的路径数很有用_本杰明·菲尔拉鲍姆，2011年2月20日

%Fa（2*m+1）=（2*m+1）*a（2*m）/（m+1），例如，a（7）=（7/4）*a（6）=（7/4）*20=35_乔恩·佩里（Jon Perry），2011年1月20日

%F From _Peter Bala，2011年2月28日：（开始）

%F设F（x）是o.g.F.A（x）的对数导数。则1+x*F（x）是A027306的o.g.F。

%F设G（x）是1+x*A（x）的对数导数。那么x*G（x）是A058622的o.G.f。（结束）

%F设M=上对角线和次对角线各为1，主对角线为[1,0,0,0，…]的无限三对角矩阵；V=向量[1,0,0,0，…]。a（n）=M^n*V，最左边的项_Gary W.Adamson_，2011年6月13日

%F设M=上对角线和次对角线各有1，主对角线为[1,0,0,0，…]的无限三对角矩阵。a（n）=M^n_{1,1}.-修改人：Gary W.Adamson_，2012年1月30日

%F a（n）=A007318（n，楼层（n/2））_Reinhard Zumkeller，2011年11月9日

%F a（n+1）=和{k=0..n}a（n-k）*A097331（k）=a（n）+和{k=0..（n-1）/2}A000108（k）*a（n-2*k-1）.-_Philippe Deléham_，2011年11月27日

%F a（n）=A214282（n）-A214283（n），当n>0.-_Reinhard Zumkeller，2012年7月14日

%F a（n）=和{k=0..n}A168511（n，k）*（-1）^（n-k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月19日

%F a（n+2*p-2）=和{k=0..floor（n/2）}A009766（n-k+p-1，k+p-2）+二项式（n+2*p-2，p-2），对于p>=1.-_Johannes W.Meijer，2013年8月2日

%F.O.g.F.：（1-x*c（x^2））/（1-2*x），加泰罗尼亚数字A000108的O.g.F.c（x）。请参阅上面Lee A.Newberg给出的重写公式。这是Riordan三角形A053121行和的o.g.f.-_Wolfdieter Lang，2013年9月22日

%F a（n）~2^n/sqrt（Pi*n/2）_Charles R Greathouse IV，2015年10月23日

%F a（n）=2^n*超几何（[1/2，-n]，[2]，2）_Vladimir Reshetnikov，2015年11月2日

%F a（2*k）=和{i=0..k}二项式（k，i）*二项式_Juan A.Olmos，2017年12月21日

%F a（0）=1，a（n）=2*a（n-1）对于偶数n，a（n）=（2*n/（n+1））*a（n-1）对于奇数n.-_James East_，2019年9月25日

%F a（n）=A037952（n）+A000108（n/2），其中a（.）=0表示非整数参数_R.J.Mathar，2021年9月23日

%F From _Amiram Eldar_，2022年3月10日：（开始）

%F Sum_｛n＞＝0｝1/a（n）＝2*Pi/（3*sqrt（3））+2。

%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。（结束）

%F对于k>2，求和{n>=0}a（n）/k^n=（sqrt（（k+2）/（k-2））-1）*k/2.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2022年5月13日

%F From _Peter Bala，2023年3月24日：（开始）

%F a（n）=和{k=0..n+1}（-1）^（k+二项式（n+2,2））*k/（n+1）*二项式。

%F（n+1）*（2*n-1）*a（n）=（-1）^（n+1。（结束）

%e对于n=4，a（4）=6个长度为4的不同字符串，每个字符串都是平衡括号字符串的前缀，分别是（（（（，（（），（）（，（）_Lee A.Newberg，2010年4月26日

%e有一个（5）=10对称平衡串，由5对括号组成：

%e[1]（））））

%e[2]（（（）（）））

%e[3]（（）（）（（）））

%e[4]（（））（（）

%e[5]（（）（）（，）（）

%e[6]（（）（（））（））

%e[7]（（））（）（）

%e[8]（）（）（）（）（）（）（）

%e[9]（）（（））（）

%e[10]（）（）（（）（，））（）-_Joerg Arndt_2011年7月25日

%e.G.f.=1+x+2*x^2+3*x^3+6*x^4+10*x^5+20*x*6+35*x^7+70*x^8+。。。

%e a（4）=6二进制4元组，使得偶数位置的1的数量与奇数位置的1s的数量相同，即0000、1100、1001、0110、0011、1111_Juan A.Olmos，2017年12月21日

%p A001405:=n->二项式（n，楼层（n/2））：seq（A001405（n），n=0..33）；

%t表[二项式[n，Floor[n/2]]，{n，0，40}]（*_Stefan Steinerberger_2006年4月8日*）

%t表[DifferenceRoot[函数[{a，n}，{-4 n a[n]-2 a[1+n]+（2+n）a[2+n]==0，a[1]==1，a[2]==1}][n]，{n，30}]（*_Luciano Ancora_，2015年7月8日*）

%t数组[二项式[#，Floor[#/2]]&，40,0]（*_哈维·P·戴尔，2018年3月5日*）

%o（PARI）a（n）=二项式（n，n\2）；

%o（PARI）第一（n）=x='x+o（'x^n）；Vec（（-1+2*x+sqrt（1-4*x^2））/（2*x-4*x*2））\\ In Fox，2017年12月20日（由In Fox_编辑，2018年5月7日）

%o（哈斯克尔）

%o a001405 n=a007318_row n！！（n `div`2）--_Reinhard Zumkeller_，2011年11月9日

%o（最大值）A001405（n）：=二项式（n，楼层（n/2））$

%o清单（A001405（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年11月1日*/

%o（岩浆）[二项式（n，楼层（n/2））：n in[0..40]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年11月16日

%o（GAP）列表（[0..40]，n->二项式（n，Int（n/2））；#_Muniru A Asiru，2018年4月8日

%o（Python）

%o来自数学导入梳

%o定义A001405（n）：返回梳（n，n//2）#_Chai Wah Wu_，2022年6月7日

%加泰罗尼亚三角形A053121和对称Dyck路径A088855的Y行和。

%Y枚举由A061854和A061855编码的结构。

%Y第一个差异在A037952中。

%Y显然a（n）=lim_{k->infinity}A094718（k，n）。

%Y部分总和以A036256为单位。A182172的k=2列。A335570的k=1列。

%Y双截给出A000984（偶数部分），A001700（奇数部分）。-_Nachum Dershowitz，2020年8月12日

%Y参考A000984给出了该序列的奇异诱导项。

%Y参见A000712、A001006、A001700、A005773、A005817、A007578、A00757、A022916、A022911（排列模式模式k）、A049401、A051920、A063886、A130820、A132815、A153585、A239241、A265848。

%Y参考A097331。

%Y参考A000045、A028495、A061551

%Y参见A107373、A340567、A340588、A340559（法罗排列中某些图案的流行）_Sergey Kirgizov_，2021年1月12日

%K nonn，轻松，漂亮，核心，步行，改变

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_