%I M1953 N0773#167 2023年8月28日08:28:28

%S 1,1,2,9,962500162000264710251101463552011759522374656，

%电话3240609120000002316276860430802500004311500661703860387840000，

%电话：209706417310526095716965894400267298097676649632590782608648192

%N a（N）=产品{k=1..N}k^（2k-1-N）。

%C包含二项式系数的三角形矩阵的行列式的绝对值。

%这些也是Pascal三角形连续水平行的乘积Jeremy Hehn（ROBO_HEN5000（AT）rose.net），2007年3月29日

%C极限{n->oo}a（n）*a（n+2）/a（n+1）^2=e，如lim_{n->oo}（1+1/n）^n=e.-Harlan J.Brothers_，2009年11月26日

%C A000225给出了奇数项的位置_Antti Karttunen，2014年11月2日

%C所有未还原分数h/k与1<=k<=h<=n的乘积-Jonathan Sondow，2015年8月6日

%C a（n）是Pascal三角形第n行二项式系数的乘积，当n=0，1，2。。。对于n>0，a（n）表示由n维布尔立方体{0,1}^n和关系“按权重优先”形成的偏序集中所有最大链的数目。这个关系在{0,1}^n上定义如下：对于任意向量u，如果wt（u）<wt（v）或如果u=v，则表示“u先于重量v”，其中wt（u）表示u的（汉明）重量。有关详细信息，请参阅序列A051459_瓦伦丁·巴科耶夫，2019年5月17日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。

%D N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..50时的a（n）</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。

%H Mohammad K.Azarian，<a href=“http://ijpam.eu/contents/2007-36-2/9/9.pdf“>关于超阶乘函数、超三角函数和某些多项式的判别式，国际纯粹与应用数学杂志36（2），2007年，第251-257页。MR2312537，Zbl 1133.11012。

%H Harlan J.Brothers，<a href=“http://www.brotherstechnology.com/docs/Finding_e_in_Pascals_Triangle.pdf“>《在帕斯卡三角中发现e》，《数学杂志》，85（2012），第51页。

%H Harlan J.Brothers，<a href=“http://dx.doi.org/10.1017/S0025557200004204“>Pascal's Triangle:The Hidden Stor-e”，《数学公报》，96（2012），145-148。

%H Jeffrey C.Lagarias和Harsh Mehta，<a href=“http://arxiv.org/abs/1409.4145“>二项式系数与未约化Farey分数的乘积</a>，arXiv:1409.4145[math.NT]，2014。

%H Leroy Quet，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2691040“>问题1636，数学杂志，2001年12月，第403页。

%F a（n）=C（n，0）*C（n、1）**C（n，n）。

%F From _Harlan J.Brothers_，2009年11月26日：（开始）

%F a（n）=产品{j=1..n-2}产品{k=1..j}（1+1/k）^k，n>=3。

%F a（1）=a（2）=1，a（n）=a（n-1）*乘积_{k=1..n-2}（1+1/k）^k（完）

%F a（n）=超因子（n）/超因子（n）=A002109（n）/A00178（n）。-_Peter Luschny_，2012年6月24日

%F a（n）~a^2*exp（n^2/2+n-1/12）/（n^（n/2+1/3）*（2*Pi）^（（n+1）/2）），其中a=A074962=1.2824271291…是Glaisher-Kinkelin常数_Vaclav Kotesovec_，2015年7月10日

%F a（n）=产品{i=1..n}产品{j=1..i}（i/j）.-_佩德罗·卡塞雷斯，2019年4月6日

%F a（n）=产品{k=1..n}（n-k+1）^（n-2*k+1）.-_Harlan J.Brothers，2023年8月26日

%pa:=n->mul（二项式（n，k），k=0..n）：seq（a（n），n=0..14）；#_Zerinvary Lajos，2008年1月22日

%t表[产品[k^（2*k-1-n），{k，n}]，{n，0，20}]（*_Harlan J.Brothers_，2009年11月26日*）

%t表[超阶乘[n]/BarnesG[n+2]，{n，0，20}]（*_Peter-Luschny_，2015年11月29日*）

%t表[乘积[（n-k+1）^（n-2k+1），{k，1，n}]，{n，0，20}]（*_哈兰J.布罗瑟斯，2023年8月26日*）

%o（PARI）表示（n=0,16，打印（prod（m=1，n，二项式（n，m）））

%o（PARI）A001142（n）=产品（k=1，n，k^（（k+k）-1-n））；\\_Antti Karttunen，2014年11月2日

%o（方案）

%o（定义（A001142 n）（mul（λ（k）（导出k（+k k-1（-n）））1 n））

%o（定义（mul-intfun-lowlim-uplim）（让multloop（（i lowlim）（res1）））（cond（（>i uplim

%o_Antti Karttunen，2014年10月28日

%o（哈斯克尔）

%o a001142=产品。a007318_低--_Reinhard Zumkeller_，2015年3月16日

%o（鼠尾草）

%o a=λn：prod（k^k/（1..n）中k的阶乘（k））

%o[a（n）代表范围（20）内的n]#_Peter Luschny_，2015年11月29日

%o（极大值）a（n）：=prod（二项式（n，k），k，0，n）；编号：15；对于从0到n的i，请打印（a（i））；/*_瓦伦丁·巴科耶夫，2019年5月17日*/

%o（岩浆）[（&*[二项式（n，k）：k in[0..n]]）：n in[0..15]]；//_G.C.Greubel，2019年5月23日

%o（GAP）列表（[0..15]，n->产品（[0..n]，k->二项式（n，k））#_G.C.格鲁贝尔，2019年5月23日

%o（Python）

%o来自math import factorial，prod

%o从分数导入分数

%o def A001142（n）：返回prod（k在（1，n）范围内的k的分数（（k+1）**k，阶乘（k））#_Chai Wah Wu_，2022年7月15日

%Y参考A000178、A002109、A007318、A000225、A056077、A249421、A187059（二元估值）、A249343、A249345、A249346、A249347、A249151。

%Y参考A004788、A056606（平方英尺内核）、A256113。

%K nonn，简单

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自James A.Sellers_的更多条款，2000年5月1日

%E来自Ahmed Fares（ahmedfares（AT）my-deja.com）的更好描述，2001年4月30日