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%I M2616 N1035#199 2023年11月3日10:29:06
%S 1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79,87,93,99105，
%电话11111 5127129133135141151159163169171189193195201205，
%电话：21121922331235237245259261267273285289297303
%N幸运数字。
%C霍金斯（1958）对“随机素数”（推广幸运数）现象进行了有趣的一般性讨论。Heyde（1978）证明了Hawkins的随机素数不仅几乎总是满足素数定理，而且还满足黎曼假设阿尔夫·范德普尔，2002年6月27日
%C Bui和Keating建立了Hawkins素数的k-different孪生素数的渐近公式，更广泛地说是Hawkin素数的所有l-tuples，这是Eratosthenes筛的概率模型。k=1的公式由Wunderlich获得[Acta Arith.26（1974），59-81]_Jonathan Vos Post，2009年3月24日。（引自Bui-Heat（2006）文章摘要，Joerg Arndt_，2014年1月4日）
%C如果我们使用2（或4）、3、5（7的差）、9、13、15、21、25。。。代替A000959 1、3、7、9、13、15、21、25…-_Eric Desbiaux，2010年3月25日
%D Martin Gardner，《Gardner的锻炼》，第21章“幸运数字和2187”，第149-156页，A.K.Peters，2002年。
%D Richard K.Guy，《数论中未解决的问题》，C3。
%D C.S.Ogilvy，《明天的数学》。第2版，牛津大学出版社，1972年，第99页。
%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%D M.L.Stein和P.R.Stein，将所有小于200000的偶数分解为素数和幸运数的二进制数表。报告LA-3106，加利福尼亚大学洛斯阿拉莫斯科学实验室，新墨西哥州洛斯阿拉莫斯，1964年9月。
%D David Wells，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986，114。
%H Hugo van der Sanden，n表，n=1..200000的a（n）（T.D.Noe的术语1..10000，R.J.Mathar的术语10001..30981）
%H H.M.Bui和J.P.Keating，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jnt.2005.11.015“>关于与霍金斯随机筛相关的双素数，《数论》119（2）（2006），284-296。
%H H.M.Bui和J.P.Keating，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0607196“>关于与霍金斯随机筛相关的双素数，arXiv:math/0607196[math.NT]，2006-2010。
%H Vema Gardiner、R.Lazarus、N.Metropolis和S.Ulam，<a href=“http://www.jstor.org/stable/3029719“>关于筛定义的某些整数序列，数学杂志，29（1956），117-122。doi:10.2307/3029719；Zbl 0071.27002。
%H Martin Gardner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF03024427“>幸运数字和2187，《数学智能》，第19卷第2期（1997年），第26-29页。
%H David Hawkins，<a href=“http://www.jstor.org/stable/3029322“>随机筛</a>，《数学杂志》31（1958），1-3。
%H D.Hawkins和W.E.Briggs，<a href=“http://www.jstor.org/stable/3029213“>幸运数定理，《数学杂志》31（1958），81-84。
%H C.C.Heyde，<a href=“http://dx.doi.org/10.1214/aop/1176995433“>霍金斯随机筛黎曼假设的对数改进</A>，《Ann.Probability》，6（1978），850-875。
%H Ivars Peterson，MathTrek，<a href=“http://web.archive.org/web/20130401223634/http://www.maa.org/mathland/mathtrek1.html“>Martin Gardner的幸运数字（存档于Archive.org）。
%H Ivars Peterson，<a href=“http://archive.wikiwix.com/cache/？url=http://www.sciencenews.org/sn_arc97/9_6_97/mathland.htm&title=“>Martin Gardner的幸运数字（存档于Wikiwix.com）
%H流行计算（加利福尼亚州卡拉巴萨斯），<a href=“/A003309/A003309.pdf”>筛：问题43</a>，第2卷（第13期，1974年4月），第6-7页。这是7号筛。[注释和扫描副本]
%H Walter Schneider，<a href=“http://web.archive.org/web/2004/www.wschnei.de/number-theory/lucky-numbers.html“>幸运数字。
%H Torsten Sillke，<a href=“http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/SEQUENCES/series013“>S.M.Ulam的幸运数字</a>
%H Hugo van der Sanden，<a href=“http://crypt.org/hv/maths/lucky_1e8.bz2“>幸运数字高达1e8</a>。[断开链接]
%H G.Villemin的《数字年鉴》，<a href=“http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Canceux.htm“>Nombre Chanceux公司。
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LuckyNumber.html“>幸运数字</a>。
%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Lucky_number“>幸运数字</a>。
%H David W.Wilson，C++中的快速节省空间序列生成程序。
%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>
%H<a href=“/index/Lu#lucky_numbers”>为与幸运数字相关的序列索引条目</a>
%H<a href=“/index/Si#siever”>筛子生成序列的索引条目
%F从自然数开始。删除每2个数字，留下1 3 5 7。。。；剩下的第二个数字是3，所以每删除一个第三个数字，留下1 3 7 9 13 15。。。；现在删除每7个数字，留下1 3 7 9 13。。。；现在每隔9个数字删除一次；等。
%F a（n）=A254967（n-1，n-1）_Reinhard Zumkeller，2015年2月11日
%F a（n）=A258207（n，n）。[其中A258207是由上述每个步骤后剩余的数字构成的方形数组。]-Antti Karttune_，2015年8月6日
%F A145649（a（n））=1；A050505.-的补充_Reinhard Zumkeller_，2008年10月15日
%F 2015年2月26日来自安蒂·卡图宁的其他身份：（开始）
%F对于所有n>=1，A109497（a（n））=n。
%F对于所有n>=1，a（n）=A000040（n）+A032600（n）。
%F对于所有n>=2，a（n）=A255553（A000040（n））。
%F（结束）
%p##luckynumbers（n）返回从1到n的所有幸运数字。##尝试n=10^5只是为了好玩。luckynumbers:=proc（n）local k，Lnext，Lprev；Lprev:=[1..n]美元；对于从1开始的k，如果k=1或k=2，则Lnext:=map（w->Lprev[w]，删除（z->z-mod-Lprev[2]=0，[$1..nops（Lprev）]）；如果nops（Lnext）=nops（L prev），则中断fi；Lprev:=Lnext；else Lnext：=映射（w->Lprev[w]，删除（z->z-mod-Lprev[k]=0，[$1..nops（Lprev）]）；如果nops（Lnext）=nops（L prev），则中断fi；Lprev:=Lnext；fi；od；返回Lnext；结束日期：#_Walter Kehowski，2008年6月5日；由_Robert Israel_修复的打字错误，2014年11月19日
%p#备选方案
%p A000959列表：=proc（mx）局部L，n，r；
%p L：=[序列（2*i+1，i=0..mx）]：
%p代表2中的n，而n<nops（L）do
%p r：=L[n]；
%p L:=子p（seq（r*i=NULL，i=1..nops（L）/r），L）；
%p od：L端：
%p A000959列表（10^3）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2014年11月19日
%t幸运=2*范围@200 - 1; f[n_]：=块[{k=luckies[[n]]}，luckies=删除[luckies，表[{k}，{k，k，长度@luckies，k}]]]；做[f@n，{n，2，30}]；幸运（*_Robert G.Wilson v_，2006年5月9日*）
%t筛最大值=10^6；luckies=范围[1，sieveMax，2]；sieve[n_]：=模块[{k=luckies[[n]]}，luckies=删除[luckies，表[{i}，{i，k，长度[luckies]，k}]]；n=1；而[luckies[[n]]<Length[luckies]，n++；筛子[n]]；幸运儿
%t L=表[2*i+1，{i，0，10^3}]；对于[n=2，n<长度[L]，r=L[[n++]]；L=替换部件[L，表[r*i->Nothing，{i，1，长度[L]/r}]]；L（*_Jean-François Alcover_，2016年3月15日，继_Robert Israel_*之后）
%o（哈斯克尔）
%o a000959 n=a000959列表！！（n-1）
%o a000959_list=1：筛2[1,3..]，其中
%o筛k xs=z:sieve（k+1）（幸运xs），其中
%o z=xs！！（k-1）
%o幸运ws=我们++幸运vs哪里
%o（us，_：vs）=拆分位置（z-1）ws
%o--_Reinhard Zumkeller_2011年12月5日
%o（C++）//参见Wilson链接，2012年11月14日
%o（PARI）A0000959_upto（nMax）=｛my（v=vectorsmall（nMax\2，k，2*k-1），i=1，q）；while（v[i++]<=#v，v=vecextract（v，2^#v-1-（q=1<v[i]）^（#v\v[i]）\（q-1）<<（v[i]-1））；v｝\\_M.F.Hasler_，2013年9月22日，2020年1月20日改进
%o（Python）
%o定义幸运（n）：
%o L=列表（范围（1，n+1，2））
%o j=1
%o而j<=len（L）-1和L[j]<=len（L）：
%o del L[L[j]-1:：L[j]
%o j+=1
%o返回L
%o#_Robert FERREOL，2014年11月19日，由F.Chapoton更正，2020年3月29日，由_Ely Golden改进，2022年8月18日
%o（方案）
%o（定义（A000959 n）（（rowfun_n_for_A000959筛n）n））；；A255543中给出的_A000959筛的rowfun_n_f代码。
%o_Antti Karttune_，2015年2月26日
%Y A258207的主对角线。
%A255545的Y列1。（另请参阅阵列A255543、A255551）。
%Y参考A050505（补遗）。
%Y参考A145649（特征函数）。
%Y参见A137164-A137185、A039672、A045954、A249876。
%Y参见A031883（第一个差异），A254967（迭代绝对差异），另见A054978。
%Y参见A109497（用作左逆函数）。
%Y Gilbreath变换为A054978，另见A362460、A362461和A362462。
%Y另请参阅A000040、A003309、A032600、A219178、A255553、A264940、A265859。
%K nonn，简单，好，核心
%O 1,2号机组
%A·N·J·A·斯隆；条目于2008年3月7日更新
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