%I#152 2023年12月21日10:22:05

%S 1,3,201751764194042265122760615347633004491418365924217936，

%电话：794832573081081724803600149013110070000207426250094400，

%电话：291369060679477541255439318353700588272005095043500

%N a（N）=（2*N）*（2*n+1）！/（n！*（n+1）！）^2

%C具有n+1列和n+1行的平行四边形多边形的数量_Emeric Deutsch，2003年5月21日

%C<n，2，n>六边形的平铺数。

%C a（n）是[2n+1]到n+1块的非交叉分区数。例如，a[1]计数13-2、1-23、12-3_David Callan_，2005年7月25日

%C自a（n）=Sum_{k=0..2n}二项式（2n，k）*A126120（k）*Al26869（n-k）以来，在正方形格子上半部分上长度为2n的返回游动次数_Andrew V.Sutherland，2008年3月24日

%C对于从原点开始并在格点（0，m）结束的上半平面中的行走计数序列，请参见A145600（m=1）、A145601（m=2）、A145602（m=3）和A145603（m=4）_Peter Bala，2008年10月14日

%C两条n链的正确合并数_亨利·穆勒，2012年8月17日

%C a（n）是使用（1,0）和（0,1）作为步长从（0,0）到（n+1，n+1）的非交叉晶格路径对的数目。这里，非交叉意味着除了原点和终点之外，两条路径不共享一个顶点。例如，a（1）=3，因为我们有三个从（0,0）到（2,2）的这样的对：{NNEE，EENN}，{NNEE，ENEN}，}NENE，EENN_Ran Pan_，2015年10月1日

%C还有具有2（n+1）个节点和n+1个叶子的有序根树的数量，即一半的节点是叶子。这些树按A358579进行排名。无序版本为A185650_Gus Wiseman_，2022年11月27日

%D J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和年度股东大会》，威利出版社，1987年，第8页。

%D E.R.Hansen，《系列和产品表》，Prentice-Hall，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯，1975年，第94页。

%H Vincenzo Librandi，n的表格，n=0..100的a（n）</a>

%H Abderrahim Arabi、Hacène Belbachir和Jean-Philippe Dubernard，<a href=“https://arxiv.org/abs/2105.00971“>平行四边形多立方体的枚举，arXiv:2105.00971[cs.DM]，2021。

%H E.Barcucci、A.Frosini和S.Rinaldi，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2005.01.006“>关于矩形中的直接凸多边形，《离散数学》，298（2005）.62-78。

%H Paul Barry，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Barry/barry91.html“>关于广义Pascal三角的基于整数序列的构造，J.Integer Seque.，Vol.9（2006），Article 06.2.4。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry4/barry142.html“>关于Narayana三角的泛化，J.Int.Seq.14（2011），第11.4.5条。

%H W.Y.C.Chen、S.X.M.Pang、E.X.Y.Qu和R.P Stanley，<a href=“http://arxiv.org/abs/0804.2930“>非交叉自由堤坝路径和非交叉分区对，arXiv:0804.2930[math.CO]，2008。

%H W.Y.C.Chen、S.X.M.Pang、E.X.Y.Qu和R.P Stanley，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.06.042“>非交叉自由Dyck路和非交叉分区对，《离散数学》，309（2009），2834-2838。

%H I.Marin和E.Wagner，<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/1203.5981“>Links-Gould多项式的三次定义代数</A>.arXiv预印本arXiv:12035981[math.GT]，2012。-发件人：N.J.A.Sloane，2012年9月21日

%H H.Mühle，<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/1206.3922“>计算链和反链的正确合并，arXiv:1206.3922[math.CO]，2012。

%H G.Xin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2007.04.007“>与有界高度表有关的行列式，《高级应用数学》45（2010）197-211。

%F-4*a（n）=A010370（n+1）。

%F G.F.：（1-E（16*x）/（Pi/2））/（4*x），其中E（）是第二类椭圆积分。[由_Livier Gérard_编辑，2011年2月16日]

%FG.F:3F2（1,1/2，3/2；2,2；16*x）=（1-2F1（-1/2，1/2；1；16*x））/（4*x）_奥利维尔·杰拉德，2011年2月16日

%例如：求和{n>=0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！=贝塞尔I（0，2*x）*BesselI（1，2*x）/x.-Michael Somos_，2005年6月22日

%F a（n）=A001700（n）*A000108（n）=（1/2）*A000984（n+1）*A0001（n）.-_Zerinvary Lajos，2007年6月6日

%F对于n>0，a（n）=（n+2）*A000356（n）开始（1，5，35，294，…）_Gary W.Adamson，2011年4月8日

%F a（n）=A001263（2*n+1，n+1）=二项式（2*n+1，n+1）*二项式。

%F G.F.：如果G_N（x）=1+和{k=1..N}（2*k）*（2*k+1）*x^k）/（k！*（k+1）！）^2，G_N（x）=1+12*x/（G（0）-12*x）；G（k）=16*x*k^2+32*x*k+k^2+4*k+12*x+4-4*x*（2*k+3）*（2*k+5）x（k+2）^2/G（k+1）；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年11月24日

%F D-有限递归（n+1）^2*a（n）-4*（2*n-1）*（2*n+1）*a（n-1）=0.-_R.J.Mathar，2012年12月3日

%F a（n）=A005558（2n）_Mark van Hoeij，2014年8月20日

%F a（n）=A000894（n）/（n+1）=A248045（n+1_Reinhard Zumkeller，2014年9月30日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2017年2月1日：（开始）

%F例如：2F2（1/2,3/2；2,2；16*x）。

%F a（n）~2^（4*n+1）/（Pi*n^2）。（结束）

%F a（n）=A005408（n）*（A000108（n））^2.-_Ivan N.Ianakiev，2019年11月13日

%F a（n）=det（M（n）），其中M（n）是n X n矩阵，M（i，j）=二项式（n+j+1，i+1）_Benoit Cloitre2022年10月22日

%F a（n）=积分_{x=0..16}x^n*W（x）dx，其中W（x）=（16*EllipticE（1-x/16）-x*EllipticK（1-x/16））/（8*Pi^2*sqrt（x）），n=>0。W（x）在x=0时发散，在x>0时单调减小，在x=16时消失。椭圆E和椭圆K是椭圆函数。作为区间[0，16]上正函数W（x）的n阶矩的这种积分表示是唯一的_Karol A.Penson，2023年12月20日

%e.G.f.=1+3*x+20*x^2+175*x^3+1764*x^4+19404*x^5+。。。

%e来自Gus Wiseman_，2022年11月27日：（开始）

%e a（2）=20个有6个节点和3个叶子的有序根树：

%e（（o）oo）

%e（（oo）o）

%e（（ooo））（（o）（oo））（o）o（o））

%e（o（o）o））（o（o）o）

%e（（o（oo））

%e（（oo（o）））（o（o）o））（oo

%e（o（oo））

%e（o（o（o）））

%e（结束）

%p with（combstruct）：bin:={B=并集（Z，Prod（B，B））}:seq（1/2*二项式（2*i，i）*（计数（[B，bin，未标记]，大小=i）），i=1.18）；#_Zerinvary Lajos，2007年6月6日

%t a[n_]：=如果[n==-1，0，二项式[2 n+1，n]^2/（2 n+1）]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月28日*）

%t a[n_]：=级数系数[（1-超几何2F1[-1/2，1/2，1，16x]）/（4x），{x，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月28日*）

%t a[n_]：=如果[n<0，0，（2 n）！级数系数[BesselI[0，2 x]BesselI[1，2 x]/x，{x，0，2 n}]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年5月28日*）

%t a[n_]：=级数系数[（1-椭圆[16x]/（Pi/2））/（4x），{x，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2016年9月18日*）

%t a[n_]：=（2 n+1）加泰罗尼亚数字[n]^2；

%t阵列[a，20，0]（*_Peter Luschny_，2020年3月3日*）

%o（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n）^2/（2*n+1）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年6月22日*/

%o（PARI）a（n）=矩阵（矩阵（n，n，i，j，二项式（n+j+1，i+1）））

%o（岩浆）[0..20]]中的[阶乘（2*n）*Factorial（2*n+1）/（阶乘（n）*阶乘（n+1））^2:n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年8月15日

%o（哈斯克尔）

%o a000891 n=a001263（2*n-1）n---Reinhard Zumkeller_，2013年10月10日

%Y参考A000356、A010370、A038535。

%Y参考A145600、A145601、A145602、A1456003.-_Peter Bala_，2008年10月14日

%Y参考A000142、A000894、A248045。

%Y等于A267981的一半。

%Y统计A358579排名的树木。

%Y A0001263按节点和叶子对有序的有根树进行计数。

%Y A090181按节点和内部对有序根树进行计数。

%Y参考A000108、A065097、A080936、A185650、A358371、A358586、A358590。

%K nonn公司

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多条款来自安德鲁·V·萨瑟兰，2008年3月24日