%I M4841 N2069#103 2022年9月8日08:44:28

%S 1，-12,54，-88，-99540，-418，-6485948361056，-4104，-2094104，-594，

%电话：4256、-6480、-4752、-298501617226、-12100、-5346、-1296、-9063、-7128，

%U 1949429160、-10032、-7668、-347388712、225722181249248、-46872675622508、-47520、-76912、-2519167716

%N乘积展开{k>=1}（1-x^k）^12。

%C Glaisher（1905，1907）调用这个序列{Omega（m）：m=1,3,5,7,9,11，…}.-_N.J.A.Sloane，2018年11月24日

%C Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第9个。参见下面的g.f.B（q）：重量6和级别4的尖点形式。

%C Grosswald使用b_n，其中b_{2n+1}=a（n）。

%C Cynk和Hulek在“Ahlgren的例子”第14页中提到了独特的标准化重量6级4尖点形式的a_p。-Michael Somos_，2012年8月24日

%C q^（-1/2）*k（q）*k'（q）^4*（k（q）/（Pi/2））^6/4的q次幂展开式，其中k（），k'（），k（）是Jacobi椭圆函数。在Glaisher 1907中，用第37页第62节中定义的Omega（m）表示_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2013年5月19日

%D J.W.L.Glaisher，《关于数字作为四个平方和的表示以及一些相关的算术函数》，《纯粹与应用数学季刊》，36（1905），305-358。见第340页。

%D Glaisher，J.W.L.（1906）。算术函数P（m）、Q（m）和Omega（m）。Quart.J.Math，37，36-48。

%D E.Grosswald，整数作为平方和的表示。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第121页。

%D纽曼，莫里斯；eta（tau）幂系数表，Nederl.Akad。韦滕施。程序。序列号。A.59=印度。数学。18 (1956), 204-216.

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Alois P.Heinz，n表，n=0..100000的a（n）（T.D.Noe的前1001个术语）

%H M.Boylan，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0022-314X（02）00037-9“>某些eta-product newforms系数的例外同余。MR1955423（2003k:11071）

%H S.Cynk和K.Hulek，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0509424“>高维模Calabi-Yau流形的构造和示例，arXiv:math/0509424[math.AG]，2005-2006。

%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://books.google.com/books？id=bLs9AQAAMAAAJ&amp；pg=RA1-PA1“>关于数字表示为二、四、六、八、十和十二个方块之和，Quart.J.Math.38（1907），1-62（见第5页）。

%小池正雄，<a href=“https://oeis.org/A004016/A004016.pdf“>非紧致算术三角形群上的模形式</a>，未发表的手稿[由N.J.a.Sloane用OEIS a-number扩展注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]

%H Y.Martin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-96-01743-6“>乘法eta-商，Trans.Amer.Math.Soc.348（1996），第12期，4825-4856，见第4852页表一。

%H K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，<a href=“http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/006.pdf“>关于整数表示为三角数之和的问题，Aequationes mathematicae，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。案例k=12。

%H Michael Somos，《伊夫·马丁74个乘法eta商及其a数列表索引》</a>

%H<a href=“/index/Pro#1mxtok”>Product_{k>=1}（1-x^k）^m扩展的索引项</a>

%H为Glaisher提到的序列索引条目</a>

%F q^（-1/2）*eta（q）^12的q次幂展开。

%周期1序列的F Euler变换[-12，…]_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月21日

%F给定g.F.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=F（B（q_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月21日

%F a（n）=b（2*n+1），其中b（n）与b（2^e）=0^e相乘，b（p^e）=b（p）*b（pqu（e-1））-p^5*b（p2（e-2））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年3月8日

%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（4 t））=64（t/i）^6 F（t），其中q=exp（2 Pi it）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年8月24日

%F G.F.：（产品_｛k>0｝（1-x^k））^12。

%F A000145（n）=A029751（n）+16*a（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月21日

%F a（n）=（-1）^n*A209676（n）。

%F A005758的卷积逆。A000729的卷积平方。

%F a（0）=1，a（n）=-（12/n）*Sum_{k=1..n}A000203（k）*a（n-k）对于n>0.-_Seiichi Manyama，2017年3月26日

%F G.F.：exp（-12*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k））_伊利亚·古特科夫斯基，2018年2月5日

%e G.f.A（x）=1-12*x+54*x^2-88*x^3-99*x^4+540*x^5-418*x^6-648*x^7+。。。

%e G.f.B（q）=q-12*q^3+54*q^5-88*q^7-99*q^9+540*q^11-418*q^13-648*q^15+。。。

%p with（numtheory）：etr:=进程（p）局部b；b： =proc（n）选项记忆；局部d，j；如果n=0，则1加（加（d*p（d），d=除数（j））*b（n-j），j=1..n）/n fi结束：a:=etr（n->-12）：seq（a（n），n=0..45）；#_Alois P.Heinz，2008年9月8日

%t系数列表[Take[Expand[Product[（1-x^k）^12，{k，42}]]，42]，x]

%t a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q]^12，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2013年5月19日*）

%t a[n_]：=系列系数[乘积[1-q^k，{k，n}]^12，{q，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2013年5月19日*）

%o（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（eta（x+x*o（x^n））^12，n））｝；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月21日*/

%o（鼠尾草）CuspForms（Gamma0（4），6，prec=85）.0；#_Michael Somos，2013年5月28日

%o（岩浆）基底（CuspForms（伽马射线（4），6），85）[1]；/*_Michael Somos，2013年12月9日*/

%o（Julia）#DedekindEta在A000594中定义。

%o A000735列表（len）=DedekindEta（len，12）

%o A000735列表（42）|>println#_Peter Luschny_，2018年3月10日

%Y参见A000145、A000729、A005758、A029751。

%Y A209676除标志外均相同。

%这是A227239的二分之一。

%K符号，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_