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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000735型 乘积{k>=1}(1-x^k)^12的展开式。
原名M4061
10

%I M4841 N2069

%S 1、-12、54、-88、-99540、-418、-6485948361056、-4104、-2094104、-594,

%电话:4256,-6480,-4752,-29850167226,-12100,-5346,-1296,-9063,-7128,

%,-124712,-124712,-24748,-247,728,-247,728,-2 548,-2 547,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:727,邮编:72

%N乘积{k>=1}(1-x^k)^12的展开式。

%C Glaisher(19051907)将这个序列称为{Omega(m):m=1,3,5,7,9,11,…}。-_N.J.A.Sloane,2018年11月24日

%C马丁(1996)表一所列74个eta商中的第9位。见下面的g.f.B(q):重量6和级别4的尖点形式。

%C Grosswald使用b_n,其中b{2n+1}=a(n)。

%C Cynk和Hulek在第14页的“Ahlgren的例子”中提到了唯一的标准化权重6水平4尖点形式。-2012年8月24日,迈克尔·索莫斯

%q^(-1/2)*k(q)*k'(q)^4*(k(q)/(Pi/2))^6/4的C展开式,其中k(),k'(),k()是Jacobi椭圆函数。在Glaisher 1907中,用Omega(m)表示,见第37页第62节。-迈克尔·索莫斯,2013年5月19日

%D J.W.L.Glaisher,关于一个数的四个平方和的表示,以及一些相关的算术函数,纯粹与应用数学季刊,36(1905),305-358。见第340页。

%D Glaisher,J.W.L.(1906年)。算术函数P(m),Q(m),Ω{m)。夸脱。J、 数学,37,36-48。

%D E.Grosswald,整数的平方和表示法。Springer Verlag,纽约,1985年,第121页。

%小池正雄,非紧算术三角形群上的模形式,预印本。

%D Newman,Morris;eta(tau)幂系数表,Nederl。阿卡德。韦滕施。程序。爵士。A、 59=印度。数学。18年(1956年),第204-216页。

%D N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

%H Alois P.Heinz,<a href=“/A000735/b000735.txt”>n=0..10000的n,a(n)表(T.D.Noe的前1001个术语)

%H M.Boylan,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0022-314X(02)00037-9”>某些eta乘积新形式系数的例外同余,</a>,数论98(2003),第2期,377-389号。MR1955423(2003k:11071)

%H S.Cynk和K.Hulek,<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0509424”>高维模块化Calabi-Yau流形的构造和示例,arxiv:math/0509424[math.AG],2005-2006。

%H J.W.L.Glaisher,<a href=“https://books.google.com/books?id=bls9aqaamaj&pg=RA1-PA1“>关于2、4、6、8、10和12平方和的表示法,夸脱。J、 数学。38年(1907年),第1-62页(见第5页)。

%H Y.Martin,<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/s002-9947-96-01743-6”>乘法eta商</a>,Trans。阿默尔。数学。Soc。348(1996),第12号,4825-4856,见第4852页表一。

%H K.Ono,S.Robins和P.T.Wahl,<a href=“http://www.mathcs.emory.edu/~Ono/publications cv/pdfs/006.pdf”>关于整数表示为三角形数之和的研究,Aequationes mathematicae,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页。案例k=12。

%H Michael Somos,<a href=“/A030203/A030203.txt”>伊夫·马丁74个乘法eta商及其a数列表的索引</a>

%H<a href=“/index/Pro\1mxtok”>产品扩展的索引项{k>=1}(1-x^k)^m</a>

%H<a href=“/index/Ge\Glaisher”>为Glaisher提到的序列编制索引项</a>

%q ^(-1/2)*eta(q)^12的展开式。

%周期1序列的欧拉变换[-12,…]。-迈克尔·索莫斯,2005年9月21日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=q*A(q^2)满足0=F(B(q),B(q^2),B(q^4)),其中F(u,v,w)=u^4*w^2+48*(u*v*w)^2+4906*u^2*w^4-u^6。-迈克尔·索莫斯,2005年9月21日

%F a(n)=b(2*n+1),其中b(n)与b(2^e)=0^e相乘,b(p^e)=b(p)*b(p^(e-1))-p^5*b(p^(e-2))。-迈克尔·索莫斯,2006年3月8日

%F G.F.是一个周期为1的傅立叶级数,满足F(-1/(4t))=64(t/i)^6f(t),其中q=exp(2pi-it)。-2012年8月24日,迈克尔·索莫斯

%F G.F.:(乘积{k>0}(1-x^k))^12。

%F A000145(n)=A029751(n)+16*a(n)。-迈克尔·索莫斯,2005年9月21日

%F a(n)=(-1)^n*A209676(n)。

%058卷积的逆。A000729的卷积平方。

%F a(0)=1,a(n)=-(12/n)*和{k=1..n}A000203(k)*a(n-k),n>0。-2017年3月26日

%F G.F.:exp(-12*和{k>=1}x^k/(k*(1-x^k)))。-朱伊利亚·古特科夫斯基,2018年2月5日

%例如f.A(x)=1-12*x+54*x ^2-88*x ^3-99*x ^4+540*x ^5-418*x ^6-648*x ^7+。。。

%例如f.B(q)=q-12*q^3+54*q^5-88*q^7-99*q^9+540*q^11-418*q^13-648*q^15+。。。

%p with(numtheory):etr:=proc(p)local b;b:=proc(n)option remember;local d,j;如果n=0,则1 else add(add(d*p(d),d=除数(j))*b(n-j),j=1..n)/n fi结束:a:=etr(n->-12):seq(a(n),n=0..45);#u Alois p.Heinz逖2008年9月8日

%t系数列表[Take[Expand[Product[(1-x^k)^12,{k,42}]],42],x]

%t a[n_u]:=系列系数[QPochhammer[q]^12,{q,0,n}];(*\u Michael Somos,2013年5月19日*)

%t a[n_u]:=系列系数[Product[1-q^k,{k,n}]^12,{q,0,n}];(*\u Michael Somos,2013年5月19日*)

%o(PARI){a(n)=如果(n<0,0,波尔科夫(eta(x+x*o(x^n))^12,n))};/*\u迈克尔·索莫斯,2005年9月21日*/

%o(鼠尾草)尖状体(Gamma0(4),6,prec=85).0;#_michaelsomos,2013年5月28日

%o(岩浆)基(尖状体(Gamma0(4),6),85)[1];/*_MichaelSomos_2013年12月9日*/

%o(Julia)DedekindEta定义见A000594。

%o A000735列表(长度)=DedekindEta(长度,12)

%o A000735列表(42)|>println#u Peter Luschny,2018年3月10日

%Y比照A000145、A000729、A005758、A029751。

%Y A209676除标志外均相同。

%这是239的二等分。

%K标志,简单,不错

%0,2

%A·N·J·A·斯隆_

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月13日19:22。包含336451个序列。(运行在oeis4上。)