%I M2096 N0829#476 2023年12月17日11:20:26

%S 1,2,162727936353792223682561903757312209865342976，

%电话：2908888511283249514980531240961015423886506852352，

%电话：2469214801902079836167025160160394398877223119184187809597841473538713962757125169296170811392372940703759625856

%N正切（或“Zag”）数字：例如f.tan（x），也可以是（直到符号），例如f.tanh（x）。

%C具有2n-1个节点的乔伊斯树的数量。{0,1，…，2n}.-的颤音排列数_拉尔夫·斯蒂芬，2003年3月28日

%C该序列的Hankel变换是A000178（n），n奇数=1，12，34560。。。；示例：det（[1，2，16；2，16，272，16、272，7936]）=34560_Philippe Deléham_，2004年3月7日

%C a（n）是具有2n-1个顶点的递增标记全二叉树的数量。完全二进制意味着每个非叶顶点都有两个子节点，分别为左和右；标记表示顶点标记为1,2，。。。，2n-1；增加意味着每个孩子的标签都比父母大_David Callan，2007年11月29日

%C来自Micha Hofri（Hofri（AT）wpi.edu），2009年5月27日：（开始）

%C a（n）是[2n]的排列数，当按顺序插入时，为了形成二叉搜索树，会产生最大可能树（只有一个子节点）。

%C例如f.是sec^2（x）=1+tan^2（x），并且可以从tan（x）本身生成相同的系数，即上述奇数节点的树数的示例f。（结束）

%C a（n）是具有2n-1个节点的递增严格二叉树的数目。有关使用相关排列增加严格二叉树的更多信息，请参阅A245894_曼达·里尔，2014年8月7日

%C关于交替排列、欧拉多项式和伯努利多项式、之字形数、三角函数、方波的傅里叶变换、量子代数以及n维超立方体和格林函数上的积分的关系，请参见Hodges和Sukumar。关于量子代数的进一步讨论，请参阅后来的Hodges和Sukumar参考文献以及Hetyei的论文，该论文介绍了Viennot关于正交多项式、逆多项式、三对角矩阵和格路径（因此与连分式和累积量有关）的一般组合理论的联系_汤姆·科普兰，2014年11月30日

%C Zigzag-Hankel变换是A000178。也就是说，A000178（2*n-k）=det（[a（i+j-k）]_{i，j=1..n}）对于n>0和k=0,1.-_Michael Somos，2015年3月12日

%C a（n）是斜形状（n，n，n-1，n-2，…，3,2）/（n-1，n-2，n-3，…，2,1）的标准Young表的数量_冉盼，2015年4月10日

%C关于Sheffer-Appell算子演算和生成Meixner-Pollaczek和Krawtchouk正交多项式的Riccati微分方程的关系，请参阅Feinsilver链接和Rzadkowski的第45页_Tom Copeland_ 2015年9月28日

%C关于椭圆曲线、Weierstrass椭圆函数、Lorentz形式群定律、Lie无穷小生成器和欧拉数A008292的关系，请参见A155585_Tom Copeland，2015年9月30日

%C欧拉三角形A008292奇数行交替和的绝对值（其中三角形顶点处的单个1计为第1行）。实际的交替和以符号交替，例如1、-2、16、-272等（偶数行的交替和始终为0。）-_Gregory Gerard Wojnar_，2018年9月28日

%C序列是任意奇数素数p的周期模。如果p==1模4，最小周期为（p-1）/2，如果p==3模4则最小周期为p-1[Knuth&Buckholtz，1967，定理1]_Allen Stenger，2020年8月3日

%C From _Peter Bala_，2021年12月24日：（开始）

%C推测：

%C 1）取任意整数k的模的序列最终变为周期，周期除以φ（k）。

%C2）高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p以及正整数n和k，除非p=2、n=1和k=1或2。

%C3）对于i>=1，定义a_i（n）=a（n+i）。高斯同余a_i（n*p^k）==a_i，（n*p ^（k-1））（mod p^k。有关示例，请参见A262145。（完）

%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第932页。

%D L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第88页。

%D H.Doerrie，《初等数学的100个大问题》，纽约州多佛市，1965年，第69页。

%D L.M.Milne Thompson，《有限差分微积分》，1951年，第148页（数字|C^{2n-1}|）。

%D J.W.Milnor和J.D.Stasheff，《特征类》，普林斯顿大学，1974年，第282页。

%D S.Mukai，不变量和模简介，剑桥，2003；见第444页。

%D H.Rademacher，《解析数论主题》，施普林格出版社，1973年，第1章，第20页。

%D L.Seidel，《伯努利申·扎伦与埃因里格·维登·赖亨》，第7卷（1877年），第157-187页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D Ross Street，《关于犁田、数学树、排列和三角学之间令人惊讶的关系》，演讲幻灯片，2015年7月15日，麦格理大学。[“有一个由N.J.a.Sloane编写的网页oeis.org。它通过输入序列的前几个项来判断序列是否发生在数学中的其他地方。研究生Daniel Steffen对此进行了追踪，并发现，令我们惊讶的是，序列与切线函数tan x有关。Ryan和Tam搜索了关于这种联系的已知信息，发现了一些明显的新结果。我们都觉得这很有趣，我希望你也会。"]

%D E.van Fossen Conrad，椭圆函数的一些连续分式展开，博士论文，俄亥俄州立大学，2002年，第28页。

%D J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，《初等数论》，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第267-268页。

%H Seiichi Manyama，n的表，n=1..243的a（n）（n.J.a.Sloane的术语1..100）

%H V.E.Adler和A.B.Shabat，<A href=“https://arxiv.org/abs/1810.13198“>Volterra链和加泰罗尼亚数字，arXiv:1810.13198[nlin.SI]，2018。

%H J.L.Arregui，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0109108“>Tangent和Bernoulli数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数相关</a>，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001。

%Hétienne Bellin、Arthur Blanc-Renaudie、Emmanuel Kammerer和Igor Kortchemski，<a href=“https://arxiv.org/abs/2308.00493“>带冻结的统一附件，arXiv:2308.00493[math.PR]，2023。见第13页。

%H Beáta Bényi、Miguel Méndez、JoséL.Ramírez和Tanay Wakhare，<a href=“https://arxiv.org/abs/1811.12897“>限制r-Stirling数及其组合应用，arXiv:1811.12897[math.CO]，2018。

%H Richard P.Brent和David Harvey，<a href=“http://arxiv.org/abs/108.0286“>伯努利、正切和正割数的快速计算</a>，arXiv预印本arXiv:1108.0286[math.CO]，2011。

%H F.C.S.Brown、T.M.A.Fink和K.Willbrand，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0607763“>关于上下数的算术和渐近性质</a>，arXiv:math/0607763[math.CO]，2006。

%H K.-W.Chen，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/CHEN/AlgBE2.html“>伯努利数和欧拉数的算法</a>，J.整数序列，4（2001），#01.11.6。

%H Bishal Deb和Alan D.Sokal，<a href=“https://arxiv.org/abs/2212.07232“>一些多元多项式的经典连分式，推广Genocchi数和中值Genocchi数</a>，arXiv:22212.07232[math.CO]，2022。见第11页。

%H D.Dumont，<a href=“http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-74-04134-9“>《Genocchi nombres des nombres de Genocchi</a>解释组合》，《杜克数学杂志》，41（1974），305-318。

%H D.Dumont和G.Viennot，《热那基数字赛德尔生成的组合解释》，预印本，带注释的扫描副本。

%H A.L.Edmonds和S.Klee，<A href=“http://arxiv.org/abs/1210.7396“>双曲流形的组合学</a>，arXiv预印本arXiv:1210.7396[math.CO]，2012.-发件人：N.J.A.Sloane，2013年1月2日

%H P.Feinsilver，<a href=“http://chanoir.math.siu.edu/math/Merida/PDF/Merida.PDF“>通过对偶向量场的李代数、表示和解析半群</a>

%H C.J.Fewster和D.Siemssen，<a href=“http://arxiv.org/abs/1403.1723“>按运行结构枚举排列</a>，arXiv预打印arXiv:1403.1723[math.CO]，2014。

%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第144页。

%H Dominique Foata和Guo-Niu Han，<a href=“http://dx.doi.org/10.1093/qmath/hap043“>双色子和新q正切数，Quart.J.Math.62（2）（2011）417-432。

%H D.Foata和G.-N.Han，<a href=“网址：http://www-irma.u-strasbg.fr/~foata/paper/pub120.html“>双变量差分方程的树微积分发件人：N.J.A.Sloane，2013年2月2日

%H Dominique Foata和Guo-Niu Han，<a href=“网址：http://www-irma.u-strasbg.fr/~foata/paper/pub123Seidel.pdf“>Seidel三角序列和双分位数</a>，2013年11月20日。

%H Ghislain R.Franssens，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Franssens/franssens13.html“>关于与二项式、Deleham、Eulerian、MacMahon和Stirling数字三角形相关的数字金字塔，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.4.1条。

%H M.-P.Grosset和A.P.Veselov，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0503175“>伯努利数和孤子</a>，arXiv:math/0503175[math.GM]，2005。

%H Christian Günther和Kai-Uwe Schmidt，<a href=“http://arxiv.org/abs/1602.01750“>Fekete和相关多项式的L^q范数</a>，arXiv:1602.01750[math.NT]，2016。

%H Guo-Niu Han和Jing-Yi Liu，<a href=“https://arxiv.org/abs/1707.08882“>正切数的可除性及其推广</a>，arXiv:11707.08882[math.CO]，2017。

%H G.Hetyei，<a href=“http://arxiv.org/abs/0909.4352“>Meixner第二类多项式和表示su（1,1）</a>的量子代数，arXiv预印本arXiv:0909.4352[math.QA]，2009。

%H A.Hodges和C.Sukumar，<A href=“https://doi.org/10.1098/rspa.2007.0001“>Bernoulli，Euler，置换与量子代数，Proc.Royal Soc.a（2007）463，2401-2414。

%H A.Hodges和C.Sukumar，<A href=“https://doi.org/10.1098/rspa.2007.0003“>量子代数与平价相关谱，Proc.Royal Soc.a（2007）463，2415-2427。

%H Hxien-Kuei Hwang和Emma Yu Jin，<a href=“https://arxiv.org/abs/1911.06690“>Fishburn矩阵及其推广的渐近与统计</a>，arXiv:1911.06690[math.CO]，2019。

%H Svante Janson，<a href=“http://arxiv.org/abs/1305.3512“>Euler-Robenius数字和四舍五入</a>，arXiv预打印arXiv:1305.3512[math.PR]，2013

%H Donald E.Knuth和Thomas J.Buckholtz，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1967-0221735-9“>切线、欧拉和伯努利数的计算。

%H D.E.Knuth和Thomas J.Buckholtz，切线、Euler和Bernoulli数的计算，数学。公司。21 1967 663-688. [带注释的扫描副本]

%H A.R.Kräuter，<A href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/opapers/s09kraeu.html“>Permanenten-Ein kurzer u berblick</a>，《联合国图书馆》，B09b（1983），第34页。

%H A.R.Kräuter，<A href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/opapers/s11kraeu.html“>《永恒的未来》（Uni ber die Permanente gewisser zirkulärer Matrizen）……</a>，《联合国之路》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B11b（1984），第11页。

%H Johann Heinrich Lambert，<a href=“http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html？band=02-hist/1761和；塞特：int=282“>Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantiteés surfiences circularies et logistopatiques，柏林皇家科学与贝莱斯莱特斯历史1761（柏林：豪德与斯宾纳，1768），第265-322页。

%H F.Luca和P.Stanica，<a href=“http://calhoun.nps.edu/bitstream/handle/10945/29605/LucaStanicaJCNTfinal.pdf“>关于一些算术序列单调性的一些猜想，J.Combin.数论4（2012）1-10。

%H Peter Luschny，<a href=“http://www.luschny.de/math/primes/eulerinc.html“>欧拉数的近似、包含和渐近性</a>

%H Dragan Mašulović，<a href=“https://arxiv.org/abs/1912.03022“>可数链的Big Ramsey谱</a>，arXiv:1912.03022[math.CO]，2019。

%H A.Niedermaier和J.Remmel，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Remmel/Remmel.html“>《彩色排列的上下排列的类比》，J.Int.Seq.13（2010），10.5.6。

%H N.E.Nørlund，<a href=“网址：http://www.gdz.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi？PPN373206070“>Vorlesungen ueber Differenzenrechnung，施普林格1924年，第27页。

%H N.E.Nörlund，《Vorlesungenüber Differenzenrechnung》，柏林，1924年[第144-151页和第456-463页的注释扫描副本]

%H Jay Rosen，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165（76）90035-2“>选票乘积加权导码的数量及其与线性伊辛模型Ursell函数的关系，组合理论杂志，第20卷，第3期，1976年5月，377-384。

%H G.Rzadkowski，<a href=“http://dx.doi.org/10.1142/S1402925110000635“>Bernoulli数和孤子-重温</a>，《小非线性数学物理》，1711年，第121-126页。（由Tom Copeland增补，2015年9月29日）

%H Raphael Schumacher，<a href=“http://arxiv.org/abs/1602.00336“>涉及Stirling级数的快速收敛求和公式，arXiv预印本arXiv:1602.00336[math.NT]，2016。

%H D.Shanks，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1967-0223295-5“>《广义欧拉和类号》，《数学比较》21（1967）689-694。

%H D.Shanks，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-68-99652-X“>勘误表：广义欧拉和类号。数学比较22，（1968）699。

%H D.Shanks，广义Euler和类号，数学。公司。21 (1967), 689-694; 22 (1968), 699. [带注释的扫描副本]

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/m1/m1.Abstract.html“>作为两个变量函数的具有规定上下结构的排列数，INTEGERS，12（2012），#A1.-发件人：N.J.A.Sloane，2013年2月7日

%H N.J.A.Sloane，关于Genocchi数的粗略注释</a>

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://neilsloane.com/doc/sg.txt“>我最喜欢的整数序列</a>，在sequences and their Applications（Proceedings of SETA'98）中。

%H R.P.Stanley，<a href=“http://www.ams.org/amsmtgs/collq-10.pdf“>排列</a>

%H罗斯街，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0303267“>树、置换和正切函数</a>给出了Joyce树和颤音置换的定义，arXiv:math/00303267[math.HO]，2003。

%孙志伟，<a href=“网址：http://math.nju.edu.cn/~zwsun/142p.pdf“>涉及算术序列的猜想</a>，《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Z.Li和J.Y.Liu），《第六届中日数论汇编》（上海，2011年8月15日至17日），世界科学，新加坡，2013年，第244-258页_N.J.A.Sloane，2012年12月28日

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1208.2683“>涉及组合序列的猜想</a>，arXiv预印本arXiv:12082683[math.CO]，2012。-来自N.J.A.Sloane，2012年12月25日

%H M.S.Tokmachev，<a href=“https://vestnik.susu.ru/mmph/article/viewFile/8337/6806“>数值棱镜中元素和序列之间的相关性</a>，《南乌拉尔州立大学公报》，《数学、力学、物理学》，2019年，第11卷，第1期，第24-33页。

%H Yi Wang和Bao-Xuan Zhu，<a href=“http://arxiv.org/abs/1303.5595“>数论和组合序列单调性的一些猜想的证明</a>，arXiv预印本arXiv:1303.5595[math.CO]，2013。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/TangentNumber.html“>切线数</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/AlternatingPermutation.html“>交替排列</a>

%H Philip B.Zhang，<a href=“http://arxiv.org/abs/1408.4235“>关于（n-2）-堆栈可排序排列的下降多项式的实数性，arXiv预打印arXiv:1408.4235[math.CO]，2014。

%H Bao-Xuan Zhu，<a href=“http://arxiv.org/abs/1309.5693“>组合序列单调性和对数行为的分析方法</a>，arXiv预印本arXiv:1309.5693[math.CO]，2013。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Bo#boutrophedon”>与boutropheredon变换相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Be#Bernoulli”>为与伯努利数相关的序列索引条目</a>

%例如：log（sec x）=和{n>0}a（n）*x^（2*n）/（2*n）！。

%例如：tan x=和{n>=0}a（n+1）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！。

%例如：（秒x）^2=Sum_{n>=0}a（n+1）*x^（2*n）/（2*n）！。

%F2/（exp（2x）+1）=1+和{n>=1}（-1）^（n+1）a（n）x^（2n-1）/（2n-1）！=1-x+x^3/3-2*x^5/15+17*x^7/315-62*x^9/2835+。。。

%F a（n）=2^（2*n）（2^（2*n）-1）|B_（2*n）|/（2*m），其中B_n是伯努利数（A000367/A002445或A027641/A027642）。

%F渐近：a（n）~2^（2*n+1）*（2*n-1）/Pi^（2*n）。

%F和[2^（2*n+1-k）*（-1）^（n+k+1）*k！*箍筋S2[2*n+1，k]，{k，1，2*n+1}]维克托·阿达姆奇克，2005年10月5日

%F a（n）=abs[c（2*n-1）]其中c（n）=2^*不！*滞后[n，-P（.，-1）/2]本影=（-2）^n*n！*C{T[，P（.，-1）/2]+n，n}暗含符号Euler数EN（n），Bernoulli数Ber（n）、Genocchi数GN（n/[（x-y）！*y！]和A131758的多项式P（j，t）_汤姆·科普兰，2007年10月5日

%F a（1）=A094665（0,0）*A156919（0,0）和a（n）=Sum_{k=1..n-1}2^（n-k-1）*A094665（n-1，k）*A156919（k，0），对于n=2，3。。，参见A162005。-_Johannes W.Meijer_，2009年6月27日

%F G.F.：1/（1-1*2*x/（1-2*3*x/（1-3*4*x/（1-4*5*x/（1-5*6*x/（1-…（续分数））_Paul Barry_，2010年2月24日

%F From _ Paul Barry，2010年3月29日：（开始）

%传真：1/（1-2x-12x^2/（1-18x-240x^2/-（1-50x-1260x^2/；

%F系数序列由4*（n+1）^2*（2n+1）*（2n+3）和2（2n+1）^2给出（见Van Fossen Conrad参考）。（结束）

%例如：x*Sum_{n>=0}Product_{k=1..n}tanh（2*k*x）=Sum_}n>=1}a（n）*x^n/（n-1）！.-_保罗·D·汉纳（Paul D.Hanna），2010年5月11日[由保罗·D·汉纳（Poul D.Hanna）更正，2023年9月28日]

%F a（n）=（-1）^（n+1）*Sum_{j=1..2*n+1}j*当n>=0时，箍筋2（2*n+1，j）*2^（2*n+1-j）*（-1）^j_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2010年8月23日：（开始）

%F如果n是奇数，使得2*n-1是素数，则a（n）==1（mod（2*n-1））；如果n是偶数，使得2*n-1是素数，那么a（n）==-1（mod（2*n-1））_Vladimir Shevelev，2010年9月1日

%F递归：a（n）=（-1）^（n-1）+和{i=1..n-1}（-1）*（n-i+1）*C（2*n-1,2*i-1）*a（i）.-_Vladimir Shevelev，2011年8月8日

%例如：tan（x）=和{n>=1}a（n）*x^（2*n-1）/（2*n-1）！=x/（1-x^2/（3-x^2/[（5-x^2//（7-x^2/（9-x^2/-（11-x^2/.（13-…））））]））（从J.H.Lambert-1761延续分数）_Paul D.Hanna，2011年9月21日

%F From _Sergei N.Gladkovskii，2011年10月31日至2013年10月9日：（开始）

%F连分数：

%例如：（秒（x））^2=1+x^2/（x^2+U（0）），其中U（k）=（k+1）*（2k+1）-2x^2+2x^2*（k+1。

%F例如：tan（x）=x*T（0），其中T（k）=1-x^2/（x^2-（2k+1）*（2k+3）/T（k+1））。

%F例如：tan（x）=x/（g（0）+x），其中g（k）=2*k+1-2*x+x/（1+x/g（k+1））。

%F例如：tanh（x）=x/（g（0）-x），其中g（k）=k+1+2*x-2*x*（k+1）/g（k+1）。

%例如：tan（x）=2*x-x/W（0），其中W（k）=1+x^2*（4*k+5）/。

%F例如：tan（x）=x/T（0），其中T（k）=1-4*k^2+x^2*（1-4*k ^2）/T（k+1）。

%例如：tan（x）=-3*x/（T（0）+3*x^2），其中T（k）=64*k^3+48*k^2-4*k*（2*x^2+1）-2*x^2-3-x^4*（4*k-1）*（4xk+7）/T（k+1）。

%F G.F.：1/G（0），其中G（k）=1-2*x*（2*k+1）^2-x^2*（2*1）*（2*k+2）^2*（2xk+3）/G（k+1）。

%F G.F.：2*Q（0）-1，其中Q（k）=1+x^2*（4*k+1）^2/（x+x^2*（4*k+1）。

%F G.F.：（1-1/G（0））*sqrt（-x），其中G（k）=1+sqrt。

%F G.F.:Q（0），其中Q（k）=1-x*（k+1）*（k+2）/（x*（k+1）*。（结束）

%计算公式：x+2*x*Sum_{n>=1}x^n*Product_{k=1..n}（2*k-1）^2/（1+（2*k-1）^2*x）Paul D.Hanna，2013年2月5日

%F a（n）=（-4）^n*Li_{1-2*n}（-1）.-Peter Luschny，2012年6月28日

%F a（n）=（-4）^n*（4^n-1）*Zeta（1-2*n）。-_Jean-François Alcover，2013年12月5日

%F渐近展开：4*（（2*（2*n-1））/（Pi*e））^。（见Luschny链接。）-Peter Luschny_，2015年7月14日

%F来自_Peter Bala_，2015年9月11日：（开始）

%F例如，对于充气序列[0，1，0，2，0，16，0，272，…]，F.A（x）=tan（x）满足A（0）=0和A'（0）=1的微分方程A''（x）=2*A（x。

%F注意，相同的递归，但在初始条件a（0）=1和a（1）=1下，产生序列n！a（0）=1/2和a（1）=1生成A080635。参见A002105，A234797。（结束）

%F a（n）=2*多蜂（2*n-1，1/2）/Pi^（2*n）_Vladimir Reshetnikov，2015年10月18日

%F a（n）=2^（2n-2）*|p（2n-1，-1/2）|，其中p_n（x）是A019538的移位行多项式。例如，a（2）=2=2^2*|1+6（-1/2）+6（-1-2）^2|.-_汤姆·科普兰，2016年10月19日

%F From _Peter Bala，2017年5月5日：（开始）

%F偏移量为0时，o.g.F.A（x）=1+2*x+16*x^2+272*x^3+。。。具有其第四二项式变换1/（1-4*x）A（x/（1-4*.x））具有S分数表示1/（1-6*x/（1-2*x/, ...] 通过交换相邻的术语。与Paul Barry给出的与A（x）相关的S分数进行比较。

%F A（x）=1/（1+x-3*x/（1-4*x/，。。。。（结束）

%F a（n）=和{i=1..n-1}二项式（2*n-2，2*k-1）*a（k）*a_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2018年8月2日

%F a（n）=2^（2*n-1）*|Euler（2*n-1，0）|，其中Euler（n，x）是Euler多项式_丹尼尔·苏图（Daniel Suteu），2018年11月21日（重述科普兰2007年的一种配方。）

%F x-和{n>=1}（-1）^n*a（n）*x^（2*n）/（2*n）！=x-对数（cosh（x））。x-log（cosh（x））的级数反转为（1/2）*x-（1/2）*log（2-exp（x）_彼得·巴拉，2022年7月11日

%F对于n>1，a（n）=2*Sum_{j=1..n-1}Sum__{k=1..j}二项式（2*j，j+k）*（-4*k^2）^（n-1）*（-1）^k/（4^j）.-_Tani Akinari_，2023年9月20日

%e tan（x）=x+2*x^3/3！+16*x^5/5！+272*x^7/7！+…=x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9+O（x^11）。

%e tanh（x）=x-1/3*x^3+2/15*x^5-17/315*x^7+62/2835*x^9-1382/155925*x^11+。。。

%e（秒x）^2=1+x^2+2/3*x^4+17/45*x^6+。。。

%e a（3）=16，因为我们有：{1，3，2，5，4}，{1，4，2，5,3}，}，

%e{1，5，2，4，3}，{1，5，3，4，2}，{2，3，1，5，4}，{2，4，1，5，3}，

%电子{2，4，3，5，1}，{2，5，1，4，3}，}，

%电子{3，4，2，5，1}，{3，5，1，4，2}，}，

%e｛4，5，2，3，1｝。-_杰弗里·克里策尔，2013年5月19日

%p系列（tan（x），x，40）；

%p与（数字理论）：a:=n->abs（2^（2*n）*；

%p A000182_list:=进程（n）本地T，k，j；T[1]：=1；

%对于从2到n的k，p do T[k]：=（k-1）*T[k-1]od；

%p代表k从2到n do

%p代表j从k到n do

%p T[j]：=（j-k）*T[j-1]+（j-k+2）*T[j]od；

%p seq（T[j]，j=1..n）结束：

%p A000182_列表（15）；#_Peter Luschny_，2012年4月2日

%t表[总和[2^（2*n+1-k）*（-1）^（n+k+1）*k！*StirlingS2[2*n+1，k]，{k，1，2*n+1}]，{n，0，7}]（*Victor Adamchik，2005年10月5日*）

%tv[1]=2；v[n]/；n>=2:=v[n]=和[二项式[2n-3，2k-2]v[k]v[n-k]，{k，n-1}]；表[v[n]/2，{n，15}]（*Zerinvary Lajos_，2009年7月8日*）

%t休息@Union[Range[0，29]！系数表[系列[Tan[x]，{x，0，30}]，x]]（*哈维·P·戴尔，2011年10月19日；由罗伯特·G·威尔逊v_修改，2012年4月2日*）

%tt[1，1]=1；t[1,0]=0；t[n/；n>1，m]：=t[n，m]=m*（m+1）*和[t[n-1，k]，{k，m-1，n-1}]；a[n]：=t[n，1]；表[a[n]，{n，1，15}]（*_Jean-François Alcover_，2013年1月2日，A064190*之后）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，With[{m=2n-1}，m！系列系数[Tan[x]，{x，0，m}]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年3月12日*）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，（-16）^n-（-4）^n）Zeta[1-2n]]；（*迈克尔·索莫斯，2015年3月12日*）

%t表[2 PolyGamma[2n-1，1/2]/Pi^（2n），{n，1，10}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2015年10月18日*）

%ta[n_]：=a[n]=如果[n<2，Boole[n==1]，和[二项式[2n-2，2k-1]a[k]a[n-k]，{k，n-1}]]；（*迈克尔·索莫斯，2018年8月2日*）

%ta[n_]：=（2^（2*n）*（2^（2*n）-1）*Abs[BernoulliB[2*n]]）/（2*m）；a/@范围[20]（*_沙滩车，2022年11月21日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，（-4）^n-（-16）^n）*bernfrac（2*n）/（2*n））}；

%o（PARI）{a（n）=my（an）；如果（n＜2，n＝＝1，an＝向量（n，m，1）；对于（m＝2，n，an[m]＝和（k＝1，m-1，二项式（2*m-2，2*k-1）*an[k]*an[m-k]））；an[n]）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos）*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，（2*n-1）！*polceoff（tan（x+o（x^（2*n+2））），2*n-1））}；/*_迈克尔·索莫斯_*/

%o（PARI）{a（n）=my（X=X+X*o（X^n），Egf）；Egf=X*sum（m=0，n，prod（k=1，m，tanh（2*k*X））；（n-1）！*polcoeff（Egf，n）}/*_Paul D.Hanna_，2010年5月11日*/

%o（PARI）/*例如tan（x）的续分数，摘自Paul D.Hanna：*/

%o{a（n）=局部（CF=1+o（x））；对于（i=1，n，CF=1/（2*（n-i+1）-1-x^2*CF））；（2*n-1）！*polcoeff（x*CF，2*n-1）}

%o（PARI）/*o.g.f.Sum_{n>=1}a（n）*x^n，摘自Paul D.Hanna，2013年2月5日：*/

%o{a（n）=polcoeff（x+2*x*和（m=1，n，x^m*prod（k=1，m，（2*k-1）^2/（1+（2*k-1）^2*x+x*o（x^n））），n）}

%o（极大值）a（n）：=总和1，k）/k，k，1,2*n）；/*_弗拉基米尔·克鲁奇宁（Vladimir Kruchinin），2010年8月23日*/

%o（极大值）a[n]：=如果n=1，则1其他2*和（和（二项式（2*j，j+k）*（-4*k^2）^（n-1）*（-1）^k/（4^j），k，1，j），j，1，n-1）；

%o临时名单（a[n]，n，1,30）；/*_Tani Akinari_，2023年9月20日*/

%o（Python）#此实现的目标是提高效率。

%o#n->[0，a（1），a（2），…，a（n）]表示n>0。

%o定义A000182_list（n）：

%o T=[0，i在范围（1，n+2）内]

%o T[1]=1

%o对于范围（2，n+1）中的k：

%o T[k]=（k-1）*T[k-1]

%o对于范围（2，n+1）中的k：

%o对于范围（k，n+1）中的j：

%o T[j]=（j-k）*T[j-1]+（j-k+2）*T[j]

%o返回T

%o打印（A000182_list（100））#_Peter Luschny_，2011年8月7日

%o（Python）

%o来自sympy import bernoulli

%o定义A000182（n）：返回abs（（（2-（2<<（m:=n<<1）））*bernoulli（m）<<m-2）//n）#_Chai Wah Wu_，2023年4月14日

%o（Sage）#L.Seidel的算法（1877）

%o#n->[a（1），…，a（n）]对于n>=1。

%o定义A000182_list（长度）：

%o R=[]；A={-1:0，0:1}；k=0；e=1

%o对于（0..2*len-1）中的i：

%o Am=0；A[k+e]=0；e=-e

%o对于（0..i）中的j：Am+=A[k]；A[k]=美国；k+=e

%o如果e>0:R.append（A[i//2]）

%o返回R

%o A000182_list（15）#_Peter Luschny_，2012年3月31日

%Y A350972基本上是相同的序列。

%Y a（n）=2^（n-1）*A002105（n）。除符号外，2^（2n-2）*A001469（n）=n*a（n）。

%Y参见A001469、A002430、A036279、A000364（正切数）、A000111（正切值）、A024283、A009764。A059419和A064190的第一条对角线。

%Y参见A009006、A009725、A029584、A012509、A009123、A009567。

%Y等于A002425（n）*2^A101921（n）。

%Y等于A162005.-的最左侧列_Johannes W.Meijer，2009年6月27日

%Y参见A258880、A258901。参见A002105、A080635、A234797。

%Y参见A019538。

%K nonn，核心，简单，好

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_