话题
搜索

单位平方积分

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

上的积分单位正方形产生于几何概率是

整数_0^1int_0^1sqrt（x^2+y^2）dxdy=1/3[平方码（2）+sinh^（-1）（1）]整数_0^1整数_0^1sqrt（（x-1/2）^2+（y-1/2）^2）dxdy=1/6[sqrt（2）+sinh^（-1）（1）]，
(1)

给出了平均距离平方点拾取在单位正方形分别指向角落和中心。

涉及的单位平方积分绝对值由提供

int_0^1int_0^1 | x-y | ^ndxdy=2/（（n+1）（n+2））
(2)
整数_0^1整数_0^1|x+y|^ndxdy=（2（2^（n+1）-1））/（n+1（n+2）），
(3)

对于R[n]>-1和R[n]>-2,分别。

另一个简单积分由下式给出

int_0^1int_0^1（dxdy）/（平方（1+x^2+y^2））=4ln（2+sqrt（3））-2/3pi
(4)

（贝利等。2007年，第67页）。将分母平方得出

整数_0^1int_0^1（dxdy）/（x^2+y^2+1）=int_0^1（tan^（-1）（1/（sqrt（1+y^2）））
（5）
=整数0^11/（平方（4x^2-1）
(6)
=int_0^（pi/4）（tan^（-1）（costheta））/（costherta）数据eta
(7)
=1/2pisinh^（-1）1-K+1/6_3F_2（1/2,1,1；3/2,3/2；1/9）
(8)
=0.63951...
(9)

（组织环境信息系统A093754号; M.Trott，pers.comm.），其中K（K）是加泰罗尼亚常数和_3F_2（a，b，c；d，e；z）是一个广义的超几何函数相关积分由下式给出

整数_0^1int_0^1（dxdy）/（x^2+y^2），
(10)

它在黎曼意义上发散，通过转换到极坐标可以很快看到。然而，取而代之的是阿达玛积分放弃单位圆内的发散部分可以得到

提示_0^1int_0^1（dxdy）/（x^2+y^2）=初始_（x^2+y^2>1；0<x<1；0<y<1）（dxdy）/（x^2+y^2）
(11)
=整数0^11/x[tan^（-1）（1/x）-tan^[-1）（（平方（1-x^2））/x）]dx
(12)
=1/2像素-K
（13）
=0.172827...
(14)

（组织环境信息系统A093753号)，其中K（K）是加泰罗尼亚常数.

关于单位正方形由Guillera和Sondow（2005）根据一般积分给出

int_0^1int_0^1（x^（u-1）y^（v-1））/（1-xyz）[-ln（xy）]^sdxdy=伽马（s+1）（Phi（z，s+1，v）-Phi（z，s+1，u））/（u-v）
(15)
int_0^1int_0^1（（xy）^（u-1））/（1-xyz）[-ln（xy=伽马（s+2）Phi（z，s+2，u），
(16)

对于u、 v>0,R[s]>-2如果C-[1中的z，infty）,和R[s]>-1如果z=1,哪里伽马射线是伽马函数和Phi（z，s，a）是超然的牧师.在(15)，处理案件u=v，将限制视为v->u，它提供(16).

另一个结果是

int_0^1int_0^1（1-x）/（（1-xy）（-lnxy））（xy）^（u-1）dxdy=lnu-psi_0（u）
(17)

（Guillera和Sondow，2005年），用于u> 0个以及在哪里psi0（z）是地高玛函数.

Guillera和Sondow（2005）也给出了

int_0^1int_0^1（[-ln（xy）]^s）/（1-xy）dxdy=伽马（s+2）泽塔
(18)
int_0^1int_0^1（[-ln（xy）]^s）/（1+xy）dxdy=伽马（s+2）eta
(19)
int_0^1int_0^1（[-ln（xy）]^s）/（1+x^2y^2）dxdy=伽马（s+2）β，
(20)

第一个支持R[s]>-1，第二个和第三个R[s]>-2,泽塔是黎曼泽塔功能,eta（个）是Dirichlet eta函数、和β（s）是迪里克莱β函数. (19)Hadjicostas（2002）发现s> =0一个整数。公式(18)和(19)是的特殊情况(16)通过设置获得u=1然后采取z=1和z=-1分别是。

美丽的公式

int_0^1int_0^1（dxdy）/（1-xy）=泽塔（2）
(21)
int_0^1int_0^1（-ln（xy））/（1-xy）dxdy=2zeta（三）
(22)

由Beukers（1979）提供。这些积分是(19)通过服用获得s=0和1。涉及以下内容的模拟加泰罗尼亚语常数 K（K）由提供

int_0^1int_0^1（dxdy）/（（1-xy）平方（x（1-y）））=8K
(23)

（祖迪林，2003年）。

与之相关的其他漂亮积分哈吉科斯塔斯的公式由提供

整数0^1int0^1（x-1）/（（1-xy）ln（xy））dxdy=伽马射线
(24)
整数0^1int0^1（x-1）/（（1+xy）ln（xy））dxdy=ln（4/pi）
（25）

（Sondow 2003年、2005年；Borwein等。2004年，第49页），其中伽马射线是尤勒·马切罗尼常数.

其他特殊情况的集合（吉列拉和索多2005）包括

int_0^1int_0^1（-xln（xy））/（1+x^2y^2）dxdy=K-1/（48）pi^2
(26)
int_0^1int_0^1（-xln（xy））/（1-x^2y^2）dxdy=1/（12）pi^2
(27)
int_0^1int_0^1（-ln（xy））/（1+x^2y^2）dxdy=1/（16）pi^3
(28)
整数_0^1int_0^1（dxdy）/（1+x^2y^2）=K（K）
(29)
int_0^1int_0^1（-dxdy）/（（2-xy）ln（xy））=液化天然气
(30)
int_0^1int_0^1（dxdy）/（2-xy）=1/（12）π^2-1/2π^22
(31)
int_0^1int_0^1（-ln（xy））/（2-xy）dxdy=7/4zeta（3）-1/6pi^2ln2+1/3ln^32
(32)
整数0^1int0^1（-x）/（（2-xy）ln（xy））dxdy=替代弹性
(33)
int_0^1int_0^1（-dxdy）/（（phi-xy）ln（xy））=2英制
(34)
int_0^1int_0^1（-dxdy）/（（φ2-xy）ln（xy））=英菲
(35)
int_0^1int_0^1（dxdy）/（phi-xy）=1/（10）π^2-ln^2π
(36)
int_0^1int_0^1（dxdy）/（φ^2-xy）=1/（15）π^2-ln^2π
(37)
int_0^1int_0^1（-ln（xy））/（phi^2-xy）dxdy=8/5zeta（3）-4/（15）pi^2lnphi+4/3ln^3phi
(38)
整数0^1int0^1（-x）/（（1+xy）ln（xy））dxdy=ln（1/2π）
（39）
int_0^1int_0^1（-x）/（（1+x^2y^2）ln（xy））dxdy=ln[（平方（2pi））/（伽马^2（3/4））]
(40)
int_0^1int_0^1（-1）/（（1+x^2y^2）ln（xy））dxdy=1/4π
(41)
整数_0^1整数_0^1x/（1-x^3y^3）dxdy=圆周率/（3sqrt（3））
(42)
整数_0^1int_0^1（dxdy）/（1-x^2y^2）=1/8pi^2
(43)
int_0^1int_0^1（ln（2-x））/（1-xy）dxdy=1/4π^2ln2-zeta（3）
(44)
int_0^1int_0^1（ln（2-xy））/（1-xy）dxdy=5/8泽塔（3）
(45)
int_0^1int_0^1（ln（1+x））/（1-xy）dxdy=5/8泽塔（3）
(46)
int_0^1int_0^1（ln（1+xy））/（1-xy）dxdy=1/4π^2ln2-zeta（3）
(47)
int_0^1int_0^1（-ln（1-x））/（1-xy）dxdy=2zeta（三）
(48)
int_0^1int_0^1（-ln（1-xy））/（1-xy）dxdy=泽塔（3）
（49）
int_0^1int_0^1（xdxdy）/（[-ln（xy）]^（3/2））=2（平方码（2）-1）平方码（π）
(50)
整数_0^1整数_0^1（dxdy）/（[-ln（xy）]^（3/2））=平方（pi）
(51)
整数0^1int0^1（dxdy）/（[-ln（xy）]^（5/4））=伽马（3/4）
（52）
int_0^1int_0^1（xln^2（xy））/（（1+x^2y^2）^2）dxdy=K-1/（48）pi^2+1/（32）pi^3
（53）
int_0^1int_0^1（ln^4（xy））/（（1+xy）^2）dxdy=（225）/2zeta（5）
（54）
int_0^1int_0^1（-dxdy）/（（1+x^2y^2）^2ln（xy））=1/8（pi+2）
(55)
int_0^1int_0^1（-xdxdy）/（（1+xy）^2ln（xy））=ln（（A^6）/（2^（1/6）平方英尺（饼））
(56)
int_0^1int_0^1（1-x）/（（1+xy）ln^2（xy））dxdy=ln（（π^（1/2）A^6）/（2^（7/6）e））
(57)
int_0^1int_0^1（1-x^2）/（（1+x^2y^2）ln^2（xy））dxdy=ln[（伽马（1/4））/（2Gamma（3/4））]+（2K）/pi-1/2
（58）
整数0^1int0^1（1-x）/（[-ln（xy）]^（5/2））dxdy=1/3平方（pi）（8平方（2）-10），
(59)

哪里泽塔（n）是黎曼-泽塔函数,泽塔（3）是阿佩里常数,φ是黄金比率,西格玛是索莫斯的二次递推常数、和A类是Glaisher-Kinkelin公司常数.方程式(57)出现在Sondow（2005）中，但Guillera和Sondow（2005）考虑的这种类型的特殊情况。

上对应的单积分[0,1]对于大多数这些积分，可以通过变量的变化x=x/Y,y=y雅可比然后给出dxdy=Y^（-1）dxdy，集成的新极限是{X，0,1},{Y，X，1}.对进行积分Y（Y）然后给出上的一维积分[0,1]有关详细信息，请参见Guillera-Sondow证明的第一部分定理3.1。

另请参见

二重积分,哈吉科斯塔斯公式,超立方体线条拾取,方形点拾取,单位圆盘积分,单位正方形

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。比克斯，F.“关于泽塔（2）和泽塔（3）."牛市。伦敦数学。Soc公司。 11, 268-272,1979Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R。实验数学：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2004Guillera，J.和Sondow，J.“二重积分与无穷大通过Lerch超越论的分析续篇得到一些经典常数的乘积。"2005年6月16日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.哈吉科斯塔斯，P.“Beukers积分的一些推广”Kyungpook数学。J。 42,399-416, 2002.新泽西州斯隆。答：。序列A093753号和A093754号在线百科全书整数序列的。"Sondow，J.“非理性标准欧拉常数。"程序。阿默尔。数学。Soc公司。 131，3335-33442003年。http://arxiv.org/abs/math.NT/0209070.索多，J.“欧拉常数和ln（4/pi）和哈吉科斯塔斯公式的模拟。"阿默尔。数学。每月 112, 61-65, 2005.Zudilin，W.“类似蜜蜂加泰罗尼亚常数的差分方程。"电子J.组合数学 10,第1期，R142003年1月10日。http://www.combinatics.org/Volume_10/Abstracts/v10i1r14.html.

引用的关于Wolfram | Alpha

单位平方积分

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“单位平方积分。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/UnitSquareIntegral.html

主题分类