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Somos二次递归常数


Somos的二次递归常数通过序列定义

 g_n=ng_(n-1)^2
(1)

具有g0=1.这是一个封闭式解决方案

 g_n=exp[-2^n(部分Li_n(1/2))/(部分)|_(n=0)+1/2(部分Phi(1/2,s,n+1))/,
(2)

哪里Li_n(z)是一个多对数,Phi(z,s,a)是一个超然的牧师.前几个术语是1、2、12、576、1658880、16511297126400。。。(组织环境信息系统A052129号).该序列的项具有渐近增长

 g_n=σ^(2^n)(n+2-n^(-1)+4n^(-2)-21n^^(-1)
(3)

(组织环境信息系统A116603型芬奇2003年,第446页,n ^(-4)术语修正),其中西格玛称为Somos的二次递归常数。在这里,生成函数A(x)在里面x=1/n满足功能性的方程式

 (1+x)^2=(A^2(x))/(A(x/(1+x)))。
(4)

的表达式西格玛包括

西格玛=平方英尺(1平方英尺(2平方英尺(3平方英尺(4…)))
(5)
=产品_(k=1)^(infty)k^(1/2 ^k)
(6)
=产品_(k=1)^(infty)((k+1)/k)^
(7)
=产品_(n=1)^(infty)产品_(k=0)^
(8)
=1.661687949...
(9)

(组织环境信息系统A112302号Ramanujan 2000年,第348页;芬奇2003年,第446页;Guillera和Sondow,2005年)。

的表达式替代弹性包括

替代弹性=sum_(k=1)^(infty)(1/2)^klnk
(10)
=sum_(k=1)^(infty)((-1)^
(11)
=-(partialLi_n(z))/(partialn)|_(n=0,z=1/2)
(12)
=和(n=1)^(infty)和(k=0)^
(13)
=0.5078339...
(14)

(组织环境信息系统A114124号芬奇2003年,第446页;Guillera和Sondow,2005年;J.Borwein,pers.comm.,2005年2月6日),其中Li_n(z)是一个多对数.

替代弹性也由单位平方积分

替代弹性=整数0^1int0^1(-x)/((2-xy)ln(xy))dxdy
(15)
=整数0^1(1-x)/((x-2)lnx)dx
(16)

(Guillera和Sondow,2005年)。

Ramanujan(1911年;2000年,第323页)建议嵌套的激进派表达

 平方(1+2平方(1+3平方(1+4平方(…))))
(17)

其收敛到3。维贾亚拉加万(Vijayaraghavan)(在拉马努扬2000年,第348页)给出了他的过程的一般理由,以及替代弹性.


另请参见

Glaisher-Kinkelin常数,嵌套字根,嵌套根式常数,单位平方积分

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工具书类

芬奇,S.R。数学常数。英国剑桥:剑桥大学出版社,2003年。吉列拉,J.和Sondow,J.“一些经典的二重积分和无穷乘积通过Lerch超越论的分析续篇获得常数。“2005年6月16日http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319.拉马努扬,美国问题298。J.印度数学。Soc公司。1911拉马努扬,美国。收集斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文(编辑G.H.Hardy,P.V.S.Aiyar,和B.M。威尔逊)。罗得岛普罗维登斯:美国。数学。Soc.,2000年。斯隆,新泽西州。答:。序列A052129号,A112302号,A114124号,以及A116603型在“整数序列在线百科全书”中索莫斯,M.“与二次递归有关的几个常数”,未出版注释。1999

参考Wolfram | Alpha

Somos的二次递归常量

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Somos的二次递归常数”。摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SomossQuadraticRecurrenceConstant.html

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