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Tau Dirichlet系列

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TauDirichlet系列TauDirichlet系列ReImTauDirichlet系列等高线

拉马努詹氏Dirichlet L系列定义为

f（s）=总和（n=1）^系数（τ（n））/（n^s），
(1)

哪里τ（n）是τ函数注意，符号F（s）个有时被用来代替f（s）个（哈代1999年，第164页）。

f（s）个具有类似于黎曼泽塔功能，并实现为拉马努扬·陶尔[秒].

Ramanujan推测f（s）个躺在线上R[s]=6.

f（s）个满足函数方程

（f（s）伽马）/（（2pi）^s）=（f（12-s）伽玛（12-s
(2)

（哈代1999年，第173页），并拥有欧拉产品代表

f（s）=产品_（p）1/（1-τ（p）p^（-s）+p^
(3)

对于σ=R[s]>7（自τ（n）=O（n^6）)（Apostol 1997，第137页；Hardy 1999，第164页）。

f（s）个可以分为

f（6+it）=z（t）e^（-itheta（t）），
(4)

哪里

z（吨）=伽马（6+it）f（6+it）（2pi）^（-it）sqrt
(5)
θ（t）=-1/2iln[（伽马（6+it））/（伽马，6-it））]-tln（2pi）。
(6)

功能θ（t）,和z（吨）由返回Wolfram语言命令拉马努扬·陶埃塔[t吨]和拉马努扬·陶兹[t吨],分别是。

拉马努扬陶Z轴-功能z（吨）是一个实函数对于真实的 t吨并且类似于黎曼-西格尔功能 Z（吨）.中的零数临界带钢从t=0到T型由提供

N（t）=（Theta（t）+I{ln[f（6+iT）]}）/pi，
(7)

哪里θ（z）是Ramanujanθ函数。Ramanujan推测非平凡零函数都是真实的。

拉马努扬的陶兹函数由定义

tau_z（t）=（伽马（6+it）（2pi）^（-it））/（f（6+its）sqrt（（sinh（pit））／（pitproduct_（k=1）^（5）k^2+t^2）））。
(8)

另请参见

Tau函数

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

阿波斯托·T·M·。《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版。纽约：Springer-Verlag，1997G.H.哈代。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，1999年。Keiper，J.“关于Ramanujan的零”陶-临界带中的Dirichlet级数。"数学。计算。 65,1613-1619, 1996.Spira，R.“Ramanujan Tau-Dirichlet的计算系列。"数学。计算。 27, 379-385, 1973.吉田，H.“关于与Ramanujan判别式相关的L函数零点的计算临界线上的功能。"J.Ramanujan数学。Soc公司。 三, 87-95,1988

参考Wolfram | Alpha

Tau Dirichlet系列

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Tau Dirichlet系列。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TauDirichlet系列.html

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