话题

勒贝格极小问题


Lebesgues最小

找到飞机叶片至少地区 A类能够覆盖任何单位的平面图形广义的直径.A型单位圆太小,但六角形限定在单元圆圈大于必要值。Pál(1920)表明六边形可以减少两个等腰三角形六边形与六边形相切的角内圆(Wells 1991;上图左图)。斯普拉格随后证明可以删除小的曲线区域(Wells 1991;右图)。这些构造给出了上限。

这个六角形半径(inradius) r=1/2(给出一个直径1)具有边长

 a=2rtan(pi/n)=1/3sqrt(3),
(1)

和它的面积六角形

 A_1=nr^2tan(pi/n)=1/2sqrt(3)=0.866025。。。
(2)

(组织环境信息系统A010527号).

Lebesgues最小三角形

在上图中矢状体由提供

秒=rtan(pi/n)tan(pi/(2n))
(3)
=1/6(2sqrt(3)-3),
(4)

其他距离按

b条=stan(pi/3)=平方英尺(3)秒
(5)
小时=平方码(s^2+b^2)=2s,
(6)

所以在Pál的约化中删除的一个等边三角形的面积是

A Delta(_D)=英国标准
(7)
=平方码(3)s^2
(8)
=1/(12)(7平方米(3)-12)
(9)
 大约 0.010363,
(10)

所以去掉两个三角形后剩下的面积是

A_2类=A_1-2A_三角洲
(11)
=2/3(3平方米(3))
(12)
=0.845299...
(13)

(组织环境信息系统A093821号).

计算Sprague构造中删除的区域的面积更为复杂。首先,使用相似的三角形

 (a-h)/h=(r2)/(r1)
(14)

与一起r1+r2=r以获得

 r2=(2r(a-h))/a=平方(3)-1。
(15)

然后

 x=r2cos(pi/3)=1/2(sqrt(3)-1),
(16)

和角度θ由提供

 θ=cos^(-1)(x/(2r))=cos~(-1)[1/2(sqrt(3)-1)],
(17)

和角度φ只是

 φ=θ-1/3pi。
(18)

距离小时^'

小时^'=2rtanphi公司
(19)
我=2个rsecphi,
(20)

三角形和扇形之间的面积是

dA_3^((1))=相对湿度1/2(2r)^2phi
(21)
=2r^2(tanphi-phi)
(22)
=1/2(tanphi-phi)
(23)
 大约 0.000554738.
(24)

小三角形的面积为

dA_3^((2))=1/2(l-2r)(h-h^')
(25)
=1/6(秒-1)(2sqrt(3)-3-3tanphi)
(26)
 大约 0.0000264307,
(27)

所以剩余的总面积是

A_3类=A_2-2(dA_3^((1))-dA_3((2)))
(28)
=-(109)/(121)-(82)/
(29)
=0.844137...
(30)

(组织环境信息系统A093822号).

众所周知地区已给出通过

 A> 1/8pi+1/4平方(3)约0.825712
(31)

(奥美,1990年)。


另请参见

面积,Borsuk的猜想,广义直径,卡基亚针问题

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工具书类

Ball,W.W.R.和Coxeter,H.S.M。数学娱乐与论文,第13版。纽约:多佛,第99页,1987年。考克塞特,H.S.M.“勒贝格最小问题”尤里卡 21,13, 1958.Grünbaum,B.“Borsuk的问题和相关问题”程序。交响乐。《纯粹数学》,第7卷。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第271-284页,1963关于椭圆的极大值和极小值的一些问题科学。多伦多帝国大学报道。1(数学、物理、化学) 6,71-88, 1917.C.S.奥美。明天的数学:业余爱好者未解决的问题,第二版。纽约:牛津大学出版社,1972年。C.S.奥美。旅游在几何中。纽约:多佛,第142-144页,1990年。帕尔,J.“Ueber ein elementares Variations问题。”Det Kgl.Danske videnkabernes公司数学塞尔斯卡布-fys.meddelelser公司 ,编号2,1-35,1920。斯隆,N.J.A.序列A010527号,A093821号,A093822号在线百科全书整数序列的。"威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第138页,1991年。Yaglom,I.M.和Boltyanskii,V.G。凸面的图。纽约:霍尔特、莱茵哈特和温斯顿,第18和100页,1961年。

引用的关于Wolfram | Alpha

勒贝格极小问题

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“勒贝格极小问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Lebesgue最小问题.html

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