话题

勒贝格极小问题


Lebesgues最小

找到飞机薄片至少地区 A它可以覆盖任何一个平面单位图广义直径.A.公司单位圆太小了,但是六角形限定在单位圆比必要的要大。Pál(1920)指出,六边形可以通过切断两个来减少等腰的三角形在与六边形相切的六边形的角上内圆(威尔斯1991年;上图左图)。随后斯普拉格可移除其他曲线区域1991年;右上图)。这些构造给出了上界。

这个六角形内拉迪乌斯 r=1/2(给出一个直径具有边长

 a=2rtan(pi/n)=1/3sqrt(3),
(一)

这个区域呢六角形

 A_1=nr^2 tan(pi/n)=1/2平方英尺(3)=0.866025。。。
(二)

(OEIS)A010527号).

Lebesgues最小三角形

在上图中射手座是由

s=rtan(π/n)tan(π/(2n))
(三)
=1/6(2sqrt(3)-3),
(四)

其他距离

b=斯坦(pi/3)=平方英尺(3)秒
(五)
h=sqrt(s^2+b^2)=2秒,
(六)

所以在Pál约化中去掉的一个等边三角形的面积是

阿丘三角洲=理学学士
(七)
=平方根(3)s^2
(八)
=1/(12)(7平方米(3)-12)
(九)
 大约 0.010363,
(十)

所以去掉两个三角形后剩下的面积是

阿丘2=A_1-2A_三角洲
(十一)
=2/3(3平方米(3))
(十二)
=845299。。。
(十三)

(OEIS)A093821号).

计算Sprague建筑中移除的区域面积更为复杂。首先,使用相似的三角形

 (a-h)/h=(r_2)/(r_1)
(十四)

r_1+r_2=r获得

 r_2=(2r(a-h))/a=sqrt(3)-1。
(十五)

那么

 x=r_2cos(π/3)=1/2(sqrt(3)-1),
(十六)

角度呢θ是由

 θ=cos^(-1)(x/(2r))=cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1)],
(十七)

角度呢功率因数只是

 φ=θ-1/3pi。
(十八)

距离h^'

h^'=2塔尼菲
(十九)
我=2rsecphi公司,
(二十)

三角形和扇形之间的面积是

数据3^((1))=右侧-1/2(2r)^2phi
(二十一)
=2r^2(tanphiφ)
(二十二)
=1/2(变压器功率因数)
(二十三)
 大约 0.000554738。
(二十四)

小三角形的面积是

大三((2))=1/2(l-2r)(h-h^')
(二十五)
=1/6(secphi-1)(2sqrt(3)-3-3tanphi)
(二十六)
 大约 0.0000264307,
(二十七)

剩余面积为总面积

阿丘3=A_2-2(大3^((1))-大3^((2)))
(二十八)
=-(109)/(121)-(82)/(121sqrt(3))+2/(121)sqrt(28634sqrt(3)-35139)-1/3pi+cos^(-1)[1/2(sqrt(3)-1]
(二十九)
=0.844137。。。
(三十)

(OEIS)A093822号).

我们还知道地区被给予通过

 A> 1/8pi+1/4sqrt(3)约0.825712
(三十一)

(奥美1990)。


另请参见

面积,博斯克猜想,广义直径,Kakeya针头问题

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工具书类

鲍尔,W.W.R.和科克斯特,H.S.M。数学的娱乐与散文,第13版。纽约:多佛,第99页,1987年。科克斯特,H、 莱贝格最小问题尤里卡 21,1958年12月13日。博斯克问题及相关问题程序。交响乐团。纯数学,第7卷。普罗维登斯:阿默尔。数学。Soc。,第271-284页,1963Kakeya,S.“关于椭圆的最大值和最小值的一些问题。”科学。霍库帝国大学报道。1(数学、物理、化学) 6,1917年,71-88年。奥美公司。明天的数学:业余爱好者未解决的问题,第二版。纽约:牛津大学出版社,1972年。奥美,C.S。远足在几何学中。纽约:多佛,第142-1441990页。帕尔,J、 “Ueber ein elementares变量问题。”Det Kgl.公司。丹斯克·维登卡本斯塞尔斯卡布,数学-仅供参考。梅德莱塞 ,第2期,1-35页,1920年。斯隆,N、 J.A.序列A010527号,A093821号,A093822号在线百科全书整数序列。"威尔斯,D。这个企鹅有趣几何词典。伦敦:企鹅,p、 1381991年。雅格洛姆,I.M.和博尔提扬斯基,V.G。凸面的数字。纽约:霍尔特,林哈特和温斯顿,第18和100页,1961年。

引用关于Wolfram | Alpha

勒贝格极小问题

引用如下:

韦斯坦,埃里克W。“勒贝格极小问题。”数学世界--Wolfram网络资源。https://mathworld.wolfram.com/LebesgueMinimalProblem.html

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