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勒贝格极小问题

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Lebesgues最小

找到飞机叶片至少地区 A类能够覆盖任何单位的平面图形广义的直径.A型单位圆太小，但六角形限定在单元圆圈大于必要值。Pál（1920）证明了六边形可以减少两个等腰三角形六边形与六边形相切的角内圆（Wells 1991；上图左图）。斯普拉格随后证明可以删除小的曲线区域（Wells 1991；右图）。这些构造给出了上限。

这个六角形有半径（inradius） r=1/2（给出一个直径1）具有边长

a=2rtan（pi/n）=1/3sqrt（3），
（1）

以及这个区域六角形是

A_1=nr^2tan（pi/n）=1/2sqrt（3）=0.866025。。。
(2)

（组织环境信息系统A010527号).

Lebesgues最小三角形

在上图中矢状体由提供

秒=rtan（pi/n）tan（pi/（2n））
(3)
=1/6（2sqrt（3）-3），
(4)

其他距离按

b条=stan（pi/3）=平方英尺（3）秒
(5)
小时=平方码（s^2+b^2）=2s，
(6)

所以在Pál的约化中删除的一个等边三角形的面积是

A Delta（_D）=英国标准
(7)
=平方码（3）s^2
（8）
=1/（12）（7平方米（3）-12）
（9）
大约 0.010363,
(10)

所以去掉两个三角形后剩下的面积是

A_2类=A_1-2A_三角洲
(11)
=2/3（3平方米（3））
(12)
=0.845299...
(13)

（组织环境信息系统A093821号).

计算斯普拉格建筑中移除的区域面积更为复杂。首先，使用相似的三角形

（a-h）/h=（r2）/（r1）
(14)

与一起r1+r2=r以获得

r2=（2r（a-h））/a=平方（3）-1。
(15)

然后

x=r2cos（pi/3）=1/2（sqrt（3）-1），
(16)

和角度θ由提供

θ=cos^（-1）（x/（2r））=cos~（-1）[1/2（sqrt（3）-1）]，
(17)

和角度φ只是

φ=θ-1/3pi。
(18)

距离小时^'是

小时^'=2rtanphi公司
(19)
我=2个rsecphi，
(20)

三角形和扇形之间的面积为

dA_3^（（1））=相对湿度1/2（2r）^2phi
(21)
=2r^2（tanphi-phi）
（22）
=1/2（tanphi-phi）
(23)
大约 0.000554738.
(24)

小三角形的面积为

dA_3^（（2））=1/2（l-2r）（h-h^'）
(25)
=1/6（秒-1）（2sqrt（3）-3-3tanphi）
(26)
大约 0.0000264307,
(27)

所以剩余的总面积是

A_3类=A_2-2（dA_3^（（1））-dA_3（（2）））
(28)
=-（109）/（121）-（82）/
(29)
=0.844137...
(30)

（组织环境信息系统A093822号).

众所周知地区已给出通过

A> 1/8pi+1/4平方（3）约0.825712
（31）

（奥美，1990年）。

另请参见

面积,Borsuk的猜想,广义直径,卡基亚针问题

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工具书类

Ball，W.W.R.和Coxeter，H.S.M。数学娱乐与论文，第13版。纽约：多佛，第99页，1987年。考克塞特，H.S.M.“勒贝格极小问题”尤里卡 21,13, 1958.Grünbaum，B.“Borsuk的问题和相关问题”程序。交响乐。纯数学，第7卷。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，第271-284页，1963关于椭圆的极大值和极小值的一些问题科学。多伦多帝国大学报道。1（数学、物理、化学） 6,71-88, 1917.C.S.奥美。明天的数学：业余爱好者未解决的问题，第二版。纽约：牛津大学出版社，1972年。C.S.奥美。旅游在几何中。纽约：多佛，第142-144页，1990年。帕尔，J.“Ueber einelementares变分问题。”Det Kgl.Danske videnkabernes公司数学塞尔斯卡布-fys.meddelelser公司 三，编号2，1-35，1920。斯隆，N.J.A.序列A010527号,A093821号,和A093822号在线百科全书整数序列的。"威尔斯，D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦：企鹅，第138页，1991年。Yaglom，I.M.和Boltyanskii，V.G。凸面的图。纽约：霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，第18和100页，1961年。

引用的关于Wolfram | Alpha

勒贝格极小问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“勒贝格极小问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Lebesgue最小问题.html

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