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山羊问题


山羊问题(或牛群问题)考虑了半径为一山羊(或公牛或其他动物)被绑在内部或外部的一个点上用一根长绳拴住篱笆L(左),并要求解决有关有多少田地可以放牧。

山羊问题

将山羊绑在内部围栏的半径一个=1使用长链L=r,考虑必须按顺序使用的链条长度让山羊吃掉一半的田地。答案是通过使用圆形-圆形交叉

A类=r^2cos^(-1)((d^2+r^2-r^2)/(2dr))+r^2cos(-1)
(1)
山羊问题图

R=d=1给予

 A(r)=-1/2rsqrt(4-r^2)+r^2cos^(-1),
(2)

在上面绘制。设置A=pi/2(即,一半图片^2)引出方程式

 -1/2rsqrt(4-r^2)+r^2cos^(-1),
(3)

无法精确求解,但具有近似解

 r=1.15872847。。。
(4)

(组织环境信息系统A133731号).

现在考虑把山羊绑在外部围栏(或相当于水平筒仓的外部横截面是一个圆圈)带有半径 一.假设L<=api这样山羊就不能再靠近了而不是他起点对面的那一点(霍夫曼1998年把霍夫曼的公牛换成了一只更平淡的山羊)。山羊显然可以在里面吃草a的内部半圆半径的L(左)其直径与围栏相切。此外,山羊可能会在半圆两侧的两个区域放牧,半圆的内侧是栅栏边界和a圆渐弦琴作为外部边界。为了找到该区域的面积,假设围栏的方向是山羊能够到的圆周上的一点就在这个位置(a,0)现在,请注意圆圈渐开线由提供

x(吨)=a(成本+租金)
(5)
y(吨)=a(sint tcost)。
(6)

从几何学角度来看,山羊将在径向约束和通过拉圆切线约束之间过渡r^2=L^2+a^2,所以

第^2页=x^2+y^2
(7)
=a^2(1+t^2)
(8)
=L^2+a^2。
(9)

相等(8)和(9)和解决t吨然后显示这发生在参数t=升/年.渐开线部分的面积山羊可以吃草的条件是

A_(渐开线)=1/2int_0^(L/a)(xy^'-yx^')dt
(10)
=1/2a^2int_0^(L/a)t^2dt
(11)
=(L^3)/(6a)。
(12)

将此面积与半径为半圆的面积相加两倍一然后给出总数地区哪个是山羊可以作为

 A=(piL^2)/2+(L^3)/(3a)。
(13)
系带球问题

可吃草面积如上图所示L/a(升/年)请注意L/a=π形成一条类似但不等价于,心形的.


另请参见

圆-圆交点,圆渐开线,圆形部门,圆形管段,透镜,蒙蒂·霍尔问题,半圆

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M.E.霍夫曼。“公牛和筒仓:曲率的应用。”阿默尔。数学。每月 105, 55-58, 1998.斯隆,新泽西州。答:。序列A133731号在“整数序列在线百科全书。"

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山羊问题

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“山羊问题。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html

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