居中单纯形多面体数

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这个中心单形多面体数是一系列居中序列形数对应于天-每个维度的维度单纯形天，其中天是非负整数。

全部形数可通过此结构化菜单访问：数字的分类

中的最小非退化多面体天-维欧几里德空间，天≥ 0

在一个天-中的维欧几里德空间${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R}^{d}\，}$,天≥0，最小顶点数天+1给出了最简单的天-多面体（天-单工），即：

• 天= 0：0-单形（有1个顶点）是点（1（-1）-单元，有1个空多面体作为面）
• 天= 1：1-simplex（有2个顶点）是三角形gnomon（20-cell，有2个点作为facet）
• 天=2：2-单纯形（有3个顶点）是三角（三角形）（31个单元，有3个线段作为面）
• 天= 3：3单纯形（有4个顶点）是四面体（4个2单元，有4个面作为面）
• 天=4：4单纯形（有5个顶点）是五弦琴（5个3单元，有5个房间作为面）
• 天= 5：5单纯形（有6个顶点）是六角形（64个细胞，6个4细胞作为面）
• 天= 6：6个单纯形（有7个顶点）是七面体（75个单元，有7个5个单元作为面）
• 天= 7：7单纯形（有8个顶点）是八面体（8个6个单元，8个6单元作为面）
• 天= 8：8-simplex（有9个顶点）是enneahepton（9个7-cell，有9个7-cell作为facet）
• ...
• 天=天：的天-单工（具有d+1天顶点）是d+1天(d-1日)-单元格，带d+1天(d-1日)-单元作为镶嵌面

公式

这个n个^第个 天-维度的中心单形多面体数由公式得出：

${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}$

哪里天是尺寸。

Schläfli-Poincaré（凸）多面体公式

笛卡尔-欧拉（凸）多面体公式多面体的推广：

${\显示样式{\sum_{i=0}^{d-1}（-1）^{i} N个_{i} }=1-（-1）^{d}，\，}{i} N个_{i} }=1-（-1）^{d}，\，}$

哪里N个₀是0维元素的数量，N个₁是一维元素的数量，N个₂是二维元素的数量。。。

递归方程

${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}$

具有初始条件

${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（0）=1，\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（1）=？，\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（2）=？\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（0）=1，\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（1）=？，\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（2）=？\，}$

正在生成函数

${\显示样式G_{\{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}（x）={\frac{1-x^{d+1}}{（1-x）^{d+2}}}\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}（x）={\frac{1-x^{d+1}}{（1-x）^{d+2}}}\，}$

基准顺序

1638年，费马提出，每个正整数最多是三个三角数、四个平方数、五个五边形数和k个 k个-多边形数。费马声称有这个结果的证据，尽管费马的证据从未被发现。 拉格朗日1770年证明了平方情形（称为四平方定理），1796年高斯证明了三角形情形。1813年，柯西最终证明了水平推广，即每个非负整数都可以写成k个 k个-gon数（称为多边形数定理），同时也进行了垂直（高维）推广（称为Hilbert-Waring问题）

非空子集A类非负整数的基称为序基克如果克是每一个非负整数都可以写成其和的最小值克中的元素A类拉格朗日的四个平方和可以重述为集合${\显示样式\脚本样式\{n^{2}|n=0,1,2，\ldots\}\，}$非负平方构成了4阶的基。

定理（柯西）${\显示样式\脚本样式k\geq 3}$，集合${\显示样式\脚本样式\{P（k，n）|n=0,1,2，\ldots\}\，}$属于k个-gon数是顺序的基础k个，即每个非负整数都可以写成k个 k个-gon编号。

我们注意到，多边形数是平方的二维类似物。显然，立方体、四次方、五次方。。。是更高维的方形类似物。1770年，沃林在没有证明的情况下指出，每个非负整数都可以写成4个平方、9个立方体、19个四次幂等的和。1909年，希尔伯特证明了存在一个有限数${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$这样每个非负整数都是${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$ ${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个功率，即集合$｛\displaystyle\scriptstyle\｛n^｛d｝| n=0,1,2，\ldots\｝，｝$属于${\显示样式\脚本样式d\，}$^第个权力是秩序的基础${\显示样式\脚本样式g（d）\，}$Hilbert-Waring问题涉及对$｛\displaystyle\scriptstyle g（d）\，｝$对于${\显示样式\脚本样式d\geq 2\，}$这个问题是近90年来加法数理论中最重要的研究课题之一，也是一个非常活跃的研究领域。

差异

${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）-\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n-1）=？\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）-\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n-1）=？\，}$

部分金额

${\显示样式\sum_{n=0}^{m}\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）=？，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式T_{m}\，}$是米^第个三角形数字。

部分倒数和

${\displaystyle\sum_{n=0}^{m}{\frac{1}{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}}=？\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}}=？\，}$

倒数总和

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}}=？\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}}=？\，}$

公式和数值表

N个₀,N个₁,N个₂,N个_三, ... 是顶点（0维）、边（1维）、面（2维）、单元（3维）。。。分别，其中(n个-1） -维“顶点”是实际的面。居中的单纯形多面体数是通过增加数字列出的N个₀个顶点。

居中单纯形数公式和值

天	姓名 天-单工 天+1 (天-1） -电池 (N个0,N个1,N个2, ...) Schläfli符号	公式 ${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）\，}$	n个= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	组织环境信息系统 数
1	居中的两级gnomonic 1-单工 双0细胞 (2) {}	${\显示样式{\binom{n+2}{2}}-{\binom{n}{2{}}\，}$ ${\显示样式2n+1，}$ 奇数	1	三	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	A005408号
2	居中三角形 2-简单 三-1-细胞 (3, 3) {3}	${\显示样式\，}$	1	4	10	19	31	46	64	85	109	136	166	199	235	A005448号
三	中心四面体 3-单工 四2-细胞 (4, 6, 4) {3, 3}	${\显示样式{\binom{n+4}{4}}-{\binom{n}{4{}}\，}$	1	5	15	35	69	121	195	295	425	589	791	1035	1325	A005894号
4	居中五弦琴 4-单工 五三电池 (5, 10, 10, 5) {3, 3, 3}	${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{0}}+5{\binom{n}}}+10{\binrom{n}{2}}+10{\binome{n}3}}+5}\binom}{n}[4}}\，}$	1	6	21	56	126	251	456	771	1231	1876	2751	3906	5396	A008498号
5	居中的六角龙 5-单工 六角四格 (6, 15, 20, 15, 6) {3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\binom{n+6}{6}}-{\binom{n}{6{}}\，}$	1	7	28	84	210	462	923	1709	2975	4921	7798	11914	17640	A008499号
6	对中七氟丙酮 6-单工 七-5细胞 (7, 21, 35, 35, 21, 7) {3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	1	8	36	120	330	792	1716	3431	6427	11404	19328	31494	49596	A008500型
7	中心八面体 7-单工 八个六细胞 (8, 28, 56, 70, 56, 28, 8) {3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\binom{n+8}{8}}-{\binom{n}{8{}}\，}$	1	9	45	165	495	1287	3003	6435	12869	24301	43713	75417	125475	A008501号
8	中心enneahepton 8-单工 非7细胞 (9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	1	10	55	220	715	2002	5005	11440	24310	48619	92368	167905	293710	A008502号
9	中心十辛烯 9-单工 十进制-8细胞 （10、45、120、210、252、210、120、45、10） {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\binom{n+10}{10}}-{\binom{n}{10{}}\，}$	1	11	66	286	1001	3003	8008	19448	43758	92378	184755	352705	646580	A008503号
10	中心hendecaenneon 10-单工 亨德卡-9细胞 (11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	1	12	78	364	1365	4368	12376	31824	75582	167960	352716	705431	1352066	A008504号
11	中心十二分度 11-单工 十二碳十细胞 (12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12) ｛3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3｝	$｛\displaystyle｛\binom｛n+12｝｛12｝｝-｛\binom｛n｝｛12｝｝\，｝$	1	13	91	455	1820	6188	18564	50388	125970	293930	646646	1352078	2704155	A008505号
12	中心十三进制 12-单工 十进制-11细胞 (13, ...帕斯卡三角形13第个行。。。，13) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式\，}$	1	14	105	560	2380	8568	27132	77520	203490	497420	1144066	2496144	5200300	A008506号

相关公式和数值表

N个₀,N个₁,N个₂,N个_三, ... 是顶点（0维）、边（1维）、面（2维）、单元（3维）。。。分别，其中(n个-1） -维“顶点”是实际的面。居中的单纯形多面体数是通过增加数字列出的N个₀个顶点。

居中单纯形数相关公式和值

天	姓名 天-单工 天+1 (天-1） -单元格 (N个0,N个1,N个2, ...) Schläfli符号	生成 功能 ${\显示样式G_{\{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}（x）=\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}（x）=\，}$ $｛\displaystyle｛\frac｛1-x^｛d+1｝｝｝｛（1-x）^｛d+2｝｝｝\，｝$	订单 的基础 ${\显示样式g_{\{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}\}}\，}$	差异 ${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）-\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）-\，}$ ${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n-1）=\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n-1）=\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{n=0}^{m}{\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}=\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n）}=\，}$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{n=0}^{m}{\frac{1}{\_{c} 对_｛d+1｝^｛（d）｝（n）｝｝=\，｝{c} 对_｛d+1｝^｛（d）｝（n）｝｝=\，｝$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{1\over{\_{c} P（P）_｛d+1｝^｛（d）｝｝（n）｝=\，｝{c} P（P）_｛d+1｝^｛（d）｝｝（n）｝=\，｝$
1	居中的两级gnomonic 1-单工 双0细胞 (2) {}	${\显示样式{\frac{1-x^{2}}{（1-x）^{3}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
2	居中三角形 2-单工 三-1-细胞 (3, 3) {3}	${\显示样式{\frac{1-x^{3}}{（1-x）^{4}}\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
三	中心四面体 3-单工 四2-细胞 (4, 6, 4) {3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{4}}{（1-x）^{5}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
4	居中五弦琴 4-单工 五三电池 (5, 10, 10, 5) {3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{5}}{（1-x）^{6}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
5	居中的六角龙 5-简单 六角四格 (6, 15, 20, 15, 6) {3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{6}}{（1-x）^{7}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
6	居中七面体 6-单工 七-5细胞 (7, 21, 35, 35, 21, 7) {3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{7}}{（1-x）^{8}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$
7	中心八面体 7-单工 八个六细胞 （8、28、56、70、56、28、8） {3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{8}}{（1-x）^{9}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
8	中心enneahepton 8-单工 非7细胞 (9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{9}}{（1-x）^{10}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	$｛\displaystyle\，｝$
9	中心十辛烯 9-单工 十进制-8细胞 (10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	$｛\displaystyle｛\frac｛1-x^｛10｝｝｛（1-x）^｛11｝｝｝｝｝\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
10	居中hendecaenneon 10-单工 亨德卡-9细胞 (11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{11}}{（1-x）^{12}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
11	居中十二面体 11-单工 十二碳十细胞 (12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{12}}{（1-x）^{13}}\，}$	$｛\displaystyle\，｝$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$
12	中心十三进制 12-单工 十进制-11细胞 （13，…帕斯卡三角形13第个行。。。，13) {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3}	${\显示样式{\frac{1-x^{13}}{（1-x）^{14}}\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$	${\显示样式\，}$

序列表

以中心为中心的单纯多面体数序列

天	${\显示样式\_{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n），\n\geq0\，}{c} P（P）_{d+1}^{（d）}（n），\n\geq0\，}$序列
2	{1、4、10、19、31、46、64、85、109、136、166、199、235、274、316、361、409、460、514、571、631、694、760、829、901、976、1054、1135、1219、1306、1396、1489、1585、1684…}
三	{1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, 1035, 1325, 1665, 2059, 2511, 3025, 3605, 4255, 4979, 5781, 6665, 7635, 8695, 9849, 11101, 12455, 13915, 15485, 17169, ...}
4	{1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876, 2751, 3906, 5396, 7281, 9626, 12501, 15981, 20146, 25081, 30876, 37626, 45431, 54396, 64631, 76251, 89376, 104131, ...}
5	{1, 7, 28, 84, 210, 462, 923, 1709, 2975, 4921, 7798, 11914, 17640, 25416, 35757, 49259, 66605, 88571, 116032, 149968, 191470, 241746, 302127, 374073, 459179, 559181, ...}
6	{1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3431, 6427, 11404, 19328, 31494, 49596, 75804, 112848, 164109, 233717, 326656, 448876, 607412, 810510, 1067760, 1390236, 1790643, ...}
7	{1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12869, 24301, 43713, 75417, 125475, 202203, 316767, 483879, 722601, 1057265, 1518517, 2144493, 2982135, 4088655, 5533155, ...}
8	{1, 10, 55, 220, 715, 2002, 5005, 11440, 24310, 48619, 92368, 167905, 293710, 496705, 815188, 1302499, 2031535, 3100240, 4638205, 6814522, 9847045, 14013220, ...}
9	{1, 11, 66, 286, 1001, 3003, 8008, 19448, 43758, 92378, 184755, 352705, 646580, 1143780, 1960255, 3265757, 5303727, 8416837, 13079352, 19937632, 29860259, 43999449, ...}
10	{1, 12, 78, 364, 1365, 4368, 12376, 31824, 75582, 167960, 352716, 705431, 1352066, 2496066, 4457036, 7724795, 13033527, 21461804, 34565466, 54551718, 84504355, ...}
11	{1, 13, 91, 455, 1820, 6188, 18564, 50388, 125970, 293930, 646646, 1352078, 2704155, 5200287, 9657609, 17383405, 30419935, 51889747, 86474661, 141070137, ...}
12	{1, 14, 105, 560, 2380, 8568, 27132, 77520, 203490, 497420, 1144066, 2496144, 5200300, 10400599, 20058286, 37442055, 67863355, 119757470, 206244507, 347346468, ...}

另请参见

单纯形多面体数

外部链接

• S.Plouffe等人，Séries Génératrices et Quelques猜想的近似《魁北克大学博士论文》，1992年。
• S.Plouffe，1031生成函数和猜想1992年，魁北克大学蒙特利尔分校。
• 赫伯特·S·威尔夫，生成功能学, 2^第1994年编辑。