搜索： a291743-编号：a291743
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A291820型
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| G.f.A（x，y）满足：A（x-x*y*A（x、y），y）=x+x*（1-y）*A（x，y），其中x^n*y^k的系数T（n，k）形成一个由行n>=1读取的三角形，对于k=0..n-1。 |
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+10
11
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1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 7, 5, 0, 1, 16, 38, 14, 0, 1, 30, 157, 189, 42, 0, 1, 50, 477, 1245, 904, 132, 0, 1, 77, 1197, 5616, 8791, 4242, 429, 0, 1, 112, 2632, 19881, 55566, 57854, 19723, 1430, 0, 1, 156, 5250, 59327, 265204, 491947, 363880, 91366, 4862, 0, 1, 210, 9714, 155783, 1035442, 3062271, 4039551, 2220933, 423124, 16796, 0, 1, 275, 16929, 370205, 3472513, 15217674, 31979723, 31463341, 13285415, 1963169, 58786, 0, 1, 352, 28094, 811877, 10331673, 63678254, 197983540, 310618856, 235959185, 78419541, 9138416, 208012, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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更一般地说，我们有以下相关身份。
给定函数F和G，其中F（0）=0，F'（0）=1，G（0）=0，
如果F（x-y*G（x））=x+（1-y）*G（x），则
（C1）F（x）=x+G（y*F（x，
（C2）y*F（x）+（1-y）*x=系列_反转（x-y*G（x）），
（C3）F（x）=x+G（x+y*G（x+y*G，
（C4）F（x）=x+Sum_{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）G（x）^n/n！。
当g（x）=x*f（x）时，该序列的g.f.A（x，y）等于上述f（x。
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x，y）还满足：
（G1）A（x，y）=x+A（y*A（x、y）+x*（1-y），y）。
（G2）y*A（x，y）+x*（1-y）=系列_反转（x-x*y*A。
（G3）x*y+（1-y）*B（x，y）=级数_反转（x+x*（1-y。
（G4）A（x，y）=x+和{n>=1}y^（n-1）*d^（n-1）/dx^（n-1）A（x，y）^n*x^n/n！。
在公式2和3中，对变量x进行级数反演。
术语公式：
（T1）T（n，0）=1。
（T2）T（n，1）=（n-1）*n*（n+4）/6。对于n>=1。
（T3）T（n+1，n-1）=二项式（2*n，n）/（n+1）=A000108号（n） 对于n>=1。
行总和：
（S2）和{k=0..n-1}T（n，k）*2^（n-k-1）=A276358型（n） ●●●●。
（S3）和{k=0..n-1}T（n，k）*3^（n-k-1）=A291744型（n） ●●●●。
（S4）和{k=0..n-1}T（n，k）*2^k*3^（n-k-1）=A291743型（n） ●●●●。
（S5）和{k=0..n-1}T（n，k）*2^k=A291813型（n） ●●●●。
（S6）和{k=0..n-1}T（n，k）*3^k=A291814型（n） ●●●●。
（S7）和{k=0..n-1}T（n，k）*4^k=A291815型（n） ●●●●。
（S8）和{k=0..n-1}T（n，k）*3^k*2^（n-k-1）=A291816型（n） ●●●●。
（S9）和{k=0..n-1}T（n，k）*3^k*4^（n-k-1）=A291817型（n） ●●●●。
（S10）和{k=0..n-1}T（n，k）*4^k*3^（n-k-1）=A291818型（n） ●●●●。
（S11）和{k=0..n-1}T（n，k）*4^（n-k-1）=A291819型（n） ●●●●。
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例子
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通用公式：A（x，y）=x+x^2+（2*y+1）*x^3+（5*y^2+7*y+1+
（14*y^3+38*y^2+16*y+1）*x^5+
（42*y^4+189*y^3+157*y^2+30*y+1）*x^6+
（132*y^5+904*y^4+1245*y^3+477*y^2+50*y+1）*x^7+
（429*y^6+4242*y^5+8791*y^4+5616*y^3+1197*y^2+77*y+1）*x^8+
（1430*y^7+19723*y^6+57854*y^5+55566*y^4+19881*y^3+2632*y^2+112*y+1）*x^9+
（4862*y^8+91366*y^7+363880*y^6+491947*y^5+265204*y^4+59327*y^3+5250*y^2+156*y+1）*x^10+
（16796*y^9+423124*y^8+2220933*y^7+4039551*y^6+3062271*y^5+1035442*y^4+155783*y^3+9714*y^2+210*y+1）*x^11+
（58786*y^10+1963169*y^9+13285415*y^8+31463341*y^7+31979723*y^6+15217674*y^5+3472513*y^4+370205*y^3+16929*y^2+275*y+1）*x^12+。。。
这样的话
A（x-x*y*A（x，y），y）=x+x*（1-y）*A（x，y）。
也，
A（x，y）=x+Z*A（Z，y），其中Z=y*A（x、y）+（1-y）*x。
...
g.f.A（x，y）中x^n*y^k的系数T（n，k）的三角形开始于：
1;
1, 0;
1, 2, 0;
1, 7, 5, 0;
1, 16, 38, 14, 0;
1, 30, 157, 189, 42, 0;
1, 50, 477, 1245, 904, 132, 0;
1, 77, 1197, 5616, 8791, 4242, 429, 0;
1, 112, 2632, 19881, 55566, 57854, 19723, 1430, 0;
1, 156, 5250, 59327, 265204, 491947, 363880, 91366, 4862, 0;
1, 210, 9714, 155783, 1035442, 3062271, 4039551, 2220933, 423124, 16796, 0;
1, 275, 16929, 370205, 3472513, 15217674, 31979723, 31463341, 13285415, 1963169, 58786, 0;
1, 352, 28094, 811877, 10331673, 63678254, 197983540, 310618856, 235959185, 78419541, 9138416, 208012, 0;
1, 442, 44759, 1666522, 27896583, 232505790, 1014785477, 2355151627, 2859824058, 1721756609, 458956233, 42718416, 742900, 0; ...
相关序列。
给定T（n，k）是g.f.A（x，y）中x^n*y^k的系数，
如果b（n）=和{k=0..n-1}T（n，k）*p^k*q^（n-k-1）
则B（x）=Sum_{n>=1}B（n）*x^n满足
（E1）B（x-p*x*B（x））=x+（q-p）*x*B（x）
（E2）B（x）=x+Z*B（Z），其中Z=p*B（x）+（q-p）*x。
...
该三角形柱的G.f.s开始：
C.0:1/（1-x）
C.1：（2-x）/（1-x）^4
C.2：（5+3*x-4*x^2+x^3）/（1-x）^7
C.3：（14+49*x-15*x^2-9*x^3+6*x^4-x^5）/（1-x）^10
C.4：（42+358*x+315*x^2-217*x^3+30*x^4+18*x^5-8*x^6+x^7）/（1-x）^13
C.5：（132+2130*x+5822*x^2+1403*x^3-1681*x^4+602*x^5-50*x^6-30*x^7+10*x^8-x^9）/（1-x）^16
C.6：（429+11572*x+62502*x^2+82763*x^3+2951*x^4-9760*x^5+5395*x^6-1329*x^7+75*x^8+45*x*^9-12*x^10+x^11）/（1-x）^19
C.7：（1430+59906*x+541211*x^2+1506161*x^3+1217687*x^4+16416*x^5-35746*x^6+36682*x^7-13502*x^8+2550*x^9-105*x^10-63*x^11+14*x^12-x^13）/（1-x）^22
抄送：（4862+301574*x+4165915*x^2+19578410*x^3+34788033*x^4+20899306*x^5+1681742*x^6+174039*x^7+195964*x^8-103084*x^9+28953*x^10-4444*x^11+140*x^12+84*x^13-16*x^14+x^15）/（1-x）^25
...
因此A（x，y*（1-x）^3）*（1-x）=x+2*y*x^3+（5*y^2-y）*x^4+。。。
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数学
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nmax=13；A[x_]=x；
Do[A[x_]=x+（y A[x]+（1-y）x）A[y A[x]+（1-y）x]+x O[x]^n//正常//扩展//收集[#，x]&，{n，nmax}]；
T[n_，k_]：=级数系数[A[x]，{x，0，n}，{y，0，k}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=my（A=x）；对于（i=1，n，A=x+子集（x*A，x，y*A+（1-y）*x+x*O（x^n））；polcoeff（polcoff（A，n，x），k，y）}
对于（n=1，12，对于（k=0，n-1，打印1（T（n，k），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 15, 105, 897, 8739, 93663, 1080909, 13246017, 170728251, 2298619851, 32162768805, 465875706873, 6964550221215, 107193366978651, 1695277029466917, 27504875620268325, 457183442035485927, 7776605660061178251, 135234473290510961097, 2402252449086179775861, 43557766261735276367055, 805650777590230815177879, 15191845940176304945626737, 291896599103455803872483709, 5712079123789080942126760083
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）满足：
（1） A（x）=3*系列_版本（x-x*A（x））-2*x。
（2） A（x）=x*（1+2*A（B（x）））/（1-A（B。
（3） A（（2*x+A（x））/3）=（A（x）-x）/（A（x）+2*x）。
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例子
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G.f.：A（x）=x+3*x^2+15*x^3+105*x^4+897*x^5+8739*x^6+9363*x^7+1080909*x^8+13246017*x^9+170728251*x^10+2298619851*x^11+322627668805*x^12+。。。
使A（x-x*A（x））=x+2*x*A。
相关系列。
A（x-x*A（x））=x+2*x ^2+6*x ^3+30*x ^4+210*x ^5+1794*x ^6+17478*x ^7+187326*x ^8+2161818*x ^9+26492034*x ^10+341456502*x ^11+4597239702*x ^12+。。。
等于x+2*x*A（x）。
系列_反转（x-x*A（x））=x+x^2+5*x^3+35*x^4+299*x^5+2913*x^6+31221*x^7+360303*x*^8+4415339*x^9+56909417*x^10+766206617*x^11+10720922935*x^12+。。。
等于（2*x+A（x））/3。
A（（2*x+A（x））/3）=x+4*x^2+26*x^3+218*x^4+2126*x^5+22986*x^6+268410*x^7+3331482*x^8+43492370*x^9+592851806*x ^10+8393229602*x ^11+122922601030*x^12+。。。
等于（A（x）-x）/（A（x）+2*x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=x）；对于（i=1，n，a=3*serreverse（x-x*a+x*O（x^n））-2*x）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=my（a=x，B）；对于（i=1，n，B=（2*x+a）/3+x*O（x^n）；a=x*（1+2*subst（a，x，B
对于（n=1,30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 5, 35, 297, 2873, 30657, 353727, 4355497, 56709337, 775575269, 11085971235, 164979882033, 2548461481105, 40762085472929, 673751263927071, 11489101983573105, 201838769635965969, 3648620371959258149, 67795012307507004291, 1293607920940368319641, 25326486746707799668105, 508368313083167614599201, 10454499119633293760277151, 220120546753823908307191769, 4742197866143368618862457641
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、3
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）还满足：
（1） A（x）=（1/2）*系列_翻转（x-2*x*A（x））+x/2。
（2） A（2*A（x）-x）=（A（x。
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例子
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通用公式：A（x）=x+x^2+5*x^3+35*x^4+297*x^5+2873*x^6+30657*x^7+353727*x^8+4355497*x^9+5670937*x^10+775575269*x^11+11085971235*x^12+。。。
使A（x-2*x*A（x））=x-x*A。
相关系列。
A（x-2*x*A（x））=x-x^2-x^3-5*x^4-35*x^5-297*x^6-2873*x^7-30657*x^8+。。。
等于x-x*A（x）。
系列_翻转（x-2*x*A（x））=x+2*x^2+10*x^3+70*x^4+594*x^5+5746*x^6+61314*x^7+707454*x^8+8710994*x*^9+113418674*x^10+。。。
等于2*A（x）-x。
A（2*A（x）-x）=x+3*x^2+19*x^3+159*x^4+1561*x^5+17087*x^6+202975*x^7+2574391*x^8+34495545*x*^9+484770627*x^10+7107406323*x^11+108289787415*x|12+1709478736593*x^13+27894511442079*x^14+。。。
它等于（A（x）-x）/（2*A（x”-x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=x）；对于（i=1，n，a=（1/2）*serreverse（x-2*x*a+x*O（x^n））+x/2）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=1,30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 7, 67, 769, 10009, 143359, 2218255, 36625657, 639659737, 11741022235, 225390779647, 4508109360985, 93665093491381, 2016669357747667, 44905700922069463, 1032419000661778213, 24472819932819733957, 597384952530618840715, 15000294032677574361955, 387082666821619977435277, 10256260095368150955828565, 278811213889895147327704519, 7770474960716476086765483619
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、3
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）还满足：
（1） A（x）=（1/3）*系列_翻转（x-3*x*A（x））+2*x/3。
（2） A（3*A（x）-2*x））=（A（x。
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例子
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通用公式：A（x）=x+x^2+7*x^3+67*x^4+769*x^5+10009*x^6+143359*xs^7+2218255*x^8+36625657*x^9+639659737*x^10+11741022235*x^11+225390779647*x^12+。。。
使A（x-3*x*A（x））=x-2*x*A（x）。
相关系列。
A（x-3*x*A（x））=x-2*x^2-2*x ^3-14*x ^4-134*x ^5-1538*x ^6-20018*x。。。
等于x-2*x*A（x）。
系列_翻转（x-3*x*A（x））=x+3*x^2+21*x^3+201*x^4+2307*x^5+30027*x*x^6+430077*x^7+6654765*x^8+。。。
等于3*A（x）-2*x。
A（3*A（x）-2*x）=x+4*x^2+34*x^3+382*x^4+5038*x^5+74134*x^6+1184650*x^7+20224990*x^8+364994554*x^9+6911857450*x^10+136622440786*x^11+28078053098*x^12+。。。
它等于（A（x）-x）/（3*A（x）-2*x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=x）；对于（i=1，n，a=（1/3）*serreverse（x-3*x*a+x*O（x^n））+2*x/3）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=1，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 9, 109, 1569, 25481, 454105, 8730373, 178996865, 3881556561, 88477557289, 2109927671453, 52443846331297, 1354646602217945, 36275862587452281, 1005099719255707829, 28765965099599741953, 849204340574458575777, 25827102287376124267593, 808349897942417046805197, 26011340193853765710238241, 859773626049480606121078057, 29168437337569276216572259097
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、3
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）还满足：
（1） A（x）=（1/4）*系列_翻转（x-4*x*A（x））+3*x/4。
（2） A（4*A（x）-3*x）=（A（x。
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例子
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通用公式：A（x）=x+x^2+9*x^3+109*x^4+1569*x*x^5+25481*x^6+454105*x^7+8730373*x^8+178996865*x^9+3881556561*x^10+88477557289*x^11+210927671453*x^12+。。。
使A（x-4*x*A（x））=x-3*x*A（x）。
相关系列。
A（x-4*x*A（x））=x-3*x^2-3*x ^3-27*x ^4-327*x ^5-4707*x ^6-76443*x。。。
等于x-3*x*A（x）。
系列_翻转（x-4*x*A（x））=x+4*x^2+36*x^3+436*x*4+6276*x^5+101924*x^6+1816420*x^7+34921492*x^8+。。。
等于4*A（x）-3*x。
A（4*A（x）-3*x）=x+5*x^2+53*x^3+741*x^4+12153*x^5+222405*x^6+4421501*x|7+93949493*x^8+2110952881*x^9+49786323589*x^10+122596783349*x^11+3139592733829*x^12+。。。
它等于（A（x）-x）/（4*A（x）-3*x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=my（a=x）；对于（i=1，n，a=（1/4）*反向（x-4*x*a+x*O（x^n））+3*x/4）；极系数（a，n）｝
对于（n=1,30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 16, 182, 2524, 39992, 699520, 13231034, 266985280, 5694001172, 127481465536, 2981125793144, 72532301230672, 1830526849868000, 47802726801684544, 1289123410465365782, 35841130838977837348, 1025903099063974343984, 30195807234087904770952, 912951678159786641659796, 28327442752528049524839856, 901289532361030971832330544, 29382621186595702051011638128
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）还满足：
（1） A（x）=（2/3）*系列_翻转（x-3*x*A（x，））+x/3。
（2） A（（3*A（x）-x）/2）=（A（x。
a（n）=和{k=0..n-1}A291820型（n，k）*3^k*2^（n-k-1）。
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例子
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通用公式：A（x）=x+2*x^2+16*x^3+182*x^4+2524*x^5+39992*x^6+699520*x^7+13231034*x^8+266985280*x^9+569400112*x^10+。。。
使A（x-3*x*A（x））=x-x*A。
相关系列。
A（x-3*x*A（x））=x-x^2-2*x^3-16*x^4-182*x^5-2524*x^6-39992*x ^7-699520*x^8+。。。
等于x-x*A（x）。
系列_反转（x-3*x*A（x））=x+3*x^2+24*x^3+273*x^4+3786*x^5+59988*x^6+1049280*x^7+19846551*x^8+。。。
等于（3/2）*A（x）-x/2。
A（（3*A（x）-x）/2）=x+5*x^2+52*x^3+713*x^4+11458*x^5+205160*x^6+3984304*x^7+82576109*x^8+1807215616*x^9+41461917398*x^10+。。。
其等于（A（x）-x）/（3*A（x）-x）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=x）；对于（i=1，n，a=（2/3）*serreverse（x-3*x*a+x*O（x^n））+x/3）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=1，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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