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Z.-W.Sun，<a href=“https://mathoverflow.net/questions/470324“>一些涉及勒让德符号的行列式的推测值</(我)</a> ，MathOverflow上的问题470324，四月四月30, 2024.

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猜想1：如果p=2*n+1是1模4的全等素数，则det[x+Jacobi（i-j，p）]_{0<i，j<n}=r_p-2*s_p+（-1）^{n/2}*x*（2*r_p-p*s_p），和 det（探测）[x个+雅各比(我-j个，第页)]_{0<=我，j个<=n个}=-第页_第页+ (-1)^{n个/2}*第页*秒_第页*x个，其中rp和s_p是有理数，其中ep^{（2-Jacobi（2，p））*h（p）}=rp+s_p*sqrt（p），ep和h（p。

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（2） 如果p==1（mod 4）和-2^{n-1}*（2*x++1） 如果p==3（mod 4）。

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猜想1：如果p=2*n+1是1模4的素数同余，则det[x+Jacobi（i-j，p）]_{0<i，j<<n} =r_p-2*s_p+(-1)^{(第页-1)/4)^{n个/2}*x*（2*r_p-p*s_p），其中r_p和s_p是有理数，其中e_p^{（2-Jacobi（2，p））*h（p）}=r_p+s_p*sqrt（p），e_p和h（p。

Z.-W.Sun，<a href=“https://mathoverflow.net/questions/470324“>涉及勒让德符号的一些行列式的推测值</a>，MathOverflow上的问题470324，2024年4月30日。

孙志伟：我还为发布到MathOverflow的问题添加了一个链接。

推测在 一 2003 预印本，R（右）.查普曼 推测的 那个 1: (我)如果如果2*n+1（n>1）是3模4的素数同余，则a（n）=1。

(ii（ii）)猜想 1:如果p=2*n+1是模4为1的素数同余，则一det（探测）[x个+雅各比(我-j个，第页)]_{0<我，j个<n个)=} =rp（相对湿度）-2*秒_第页+ (-1)^{(第页-1)/4}*x个*(2*第页_第页-第页*s_p（秒），),其中rp和s_p是有理数，其中ep^{（2-Jacobi（2，p））*h（p）}=rp+s_p*sqrt（p），ep和h（p。

（1） det（探测）[x个+雅可比（i+j，p）]_{0<i，j<n}是（-1）^{n/2}*2^{n-1}*}*(b条_第页-一_第页 *x个)如果p＝＝1（mod 4），以及02^{n个-1}*x个如果p==3（mod 4）。

（2） det（探测）[x个+雅可比（i+j，p）]_{0<=i，j<n}是（-1）^{n/2+1}*2^{n-1}*(2*b条_第页-一_第页+x个*(第页*b条_第2页*b条一_第页)))如果p==1（mod 4），并且-2^{n-1}*(2*x个+1})如果p==3（mod 4）。

R.Chapman，<a href=“https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/prepint/LegProof4.pdf“>Legendre符号矩阵的行列式</a>，预印本，2003年。（参见本文的猜想2。）

经核准的

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孙志伟当a（n）=1是3模4的素数同余时，可以追溯到查普曼，所以我们提到这个。我们还通过添加参数x扩展了猜想2。

孙志伟当2n+1是3模4的素数同余时，a（n）=1可以追溯到查普曼，所以我们提到这个。我们还通过添加参数x来扩展猜想2。

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乔恩·肖恩菲尔德：谢谢！