A371479-OEIS公司

A371479型

行读取的不规则三角形：第n行列出了数字k，使得1<=k<=n/2和k/n+i/n位于i的模群轨道中，对于n=A008784号（n）。

0, 1, 2, 3, 5, 4, 7, 5, 12, 13, 6, 9, 7, 23, 17, 11, 8, 18, 27, 31, 9, 13, 38, 34, 22, 10, 23, 33, 15, 11, 57, 47, 57, 37, 12, 17, 27, 44, 28, 70, 13, 47, 80, 55, 19, 43, 68, 81, 75, 14, 91, 32, 73, 33, 21, 47, 15, 107, 89, 64, 57, 16, 23, 83, 82, 37, 60, 53, 38, 17, 133, 138, 105, 72, 133, 25, 129, 114, 18, 57, 148, 99, 93, 136, 42, 19, 27, 173, 43, 117, 104, 70, 99, 81, 115, 183, 63

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,3

模群作用下i的轨道（即集合{（ai+b）/（ci+d）：Z中的a，b，c，d，ad-bc=1}）相对于虚轴对称，相对于水平平移周期为1。因此，将带0<=Re（z）<=1/2中的轨道反射到虚轴上，然后水平平移整数量，就得到了i在复平面中的完整轨道。

条带0中的轨道<=Re（z）<=1/2是有限集的并集A008784号，对应于{a（n）}的级别。每个有限集由水平线上具有有理坐标的点组成，方程Im（z）=1/N，其中N是A008784号从顶部开始，n=1=A008784号（1），我们只有k=0或i本身，对应于模群的单位元。然后下降一级，n=2=A008784号（2），我们只有k=1，或元素1/2+i/2对应于模群元素（（1,0），（1,1））。然后在下一级n=3，我们有A008784号（3） =5，我们仍然只有一个条目k=2，给出2/5+i/5，对应于矩阵（（0，-1），（1，-2））。继续这种方法，我们发现所有直到n=16的能级只有序列的一个项。这是因为如果N=A008784号（n）则对于1<=n<=16，方程x^2+y^2=n只有一个具有（x，y）相对素数的解。对于n=17，我们有A008784号（17） =65和（1,8），（4,7）是x^2+y^2=65的两个解。因此，我们在17级找到了序列的两个项，8和18，对应于i轨道上的8/65+i/65和18/65+i/65。

所以{a（n）}列出了当我们从左到右下降“楼层”时，i在0≤Re（z）≤1/2中轨道元素实部的分子。

以下是序列的构造方式：每个N=A008784号（n）可以表示为两个相对素数平方的和。如果N有s个素除数，并且所有的素除数都是4k+1形式，那么x^2+y^2=N将有2^（s-1）个解（请参阅链接部分中引用的MathStackExchange帖子）。

考虑一个这样的解，c^2+d^2=N。设a，b是欧几里德算法给出的唯一整数，使得ad-bc=1（或者等价地，在距原点最小距离处的一对整数（x，y），使得cx-dy=1）。可以证明ac+bd将位于{1,2，…，N-1}中，并且相对N是素数。那么k在{1,2，…，N/2}中。对x^2+y^2=N的每一个可能的解都这样做，然后按递增顺序列出结果数字（全部包含在{1,2,3，…，N/2}中）。这些将是有理数的分子，这些有理数是i的轨道点的实部，虚部1/N。三角形的第N行是k1，k2，。..、kr和r是行长度，通常是2的幂。

与的联系A057756号如下所示：A057756号被发现为{a（n）}的每个级别的第一项（因为A057756号是i）轨道水平上第一个有理数的分子。

链接

n=1..97时的n，a（n）表。

数学堆栈交换，表示为两个平方和.

例子

对于每行编号n，下表给出了n=A008784号（n）第n行中的项数r，以及这些项数的值：

第n行中的术语：

n n r k=12。…r

-- -- - ---------------

1 1 1 0;

2 2 1 1;

3 5 1 2;

4 10 1 3;

5 13 1 5;

6 17 1 4;

7 25 1 7;

8 26 1 5;

9 29 1 12;

10 34 1 13;

11 37 1 6;

12 41 1 9;

13 50 1 7;

14 53 1 23;

15 58 1 17;

16 61 1 11;

17 65 2 8, 18;

18 73 1 27;

19 74 1 31;

20 82 1 9;

21 85 2 13, 38;

...

对于n=17行，n=A008784号（17） =65和65有两种表示形式，即x^2+y^2:65=1^2+8^2=7^2+4^2。对于（1,8）对，我们有（a，b）=（1,7），所以ac+bd=57，和-ab-cd=-57==8（mod 65）。对于（7,4）对，我们有（a，b）=（2,1），所以ac+bd=18和-ac-bd=-18==47（mod 65）。取最小值，我们发现8，18将是序列中的连续项，8/65+i/65，18/65+i/66将是i轨道上的所有元素，虚部为1/65，实部为0<=Re（z）<=1/2。下一级有两个术语A008784号(21)=85.

交叉参考

囊性纤维变性。A008784号,A057756号.

上下文中的序列：A114750型 A234923型 A145391号*A057756号 A378785型 A340477飞机

相邻序列：A371476飞机 A371477飞机 A371478飞机*A371480型 A371481 A371482型

关键词

非n,标签

作者

瓦莱里奥·德·安吉利斯2024年3月26日

状态

经核准的