%I#35 2024年3月29日05:43:01

%S 1,1,2,1,2,5,1,2,6,16,1,2,8,28,67,1,2,10,64212374,1,2,141161120，

%电话：26642825,1,2,16268365242176563229212,1,2,2036819156285704，

%电话：35832322052656417199,1,226163587239618326194692066124288

%N按降序反对偶读取的平方数组：T（N，k）是N>=0和k>=1的A000040（k）^N阶初等阿贝尔群的子群数。

%C由于p^n阶的初等交换群G同构于特征为p的有限域上的n维向量空间V，T（n，k）也是V的子空间数。

%如上所定义的C V，T（n，k）也是素数q的高斯二项式系数（n，r）的和，0<=r<n，因为（n，r）计算V的r-维子空间的数量。固定素数q数的这些和的序列对应于T（n、k）的列。

%F T（n，k）=2*T（n-1，k）+（A000040（k）^（n-1）-1）*T（n-2，k）。

%F T（0，k）=1。

%F T（1，k）=2。

%F T（2，k）=A000040（k）+3=A113935（k）。

%F T（3，k）=2*（A000040（k）^3+（A000040k（k）-2））/（A000040%（k）-1）。

%e T（1,1）=2，因为阶A000040（1）^1=2^1的初等交换有2个子群。

%e T（3,5）=2*T（2,5）+（A000040（5）^（3-1）-1）*T（1,5）=2*14+（（11^2）-1）*2=268。

%e前6行8列：

%电子邮箱|1 2 3 4 5 6 7 8

%e（电子）----+---------------------------------------------------------------------------

%电子0|1 1 1 1 1 11 1 1 1

%e 1 | 2 2 2 2 2中2 2 2

%电子邮箱2 | 5 6 8 10 14 16 20 22

%电子邮箱3 | 16 28 64 116 268 368 616 764

%电子邮箱4 | 67 212 1120 3652 19156 35872 99472 152404

%电子邮箱5 | 374 2664 42176 285704 3961832 10581824 51647264 99869288

%电子邮箱：6 | 2825 56632 3583232 61946920 3092997464 13340150272 141339210560 377566978168

%o（PARI）T（n，k）=polcoeff（总和（i=0，n，x^i/prod（j=0，i，1-素数（k）[k]^j*x+x*o（x^n）），n）

%o（间隙）

%o#生成第一个（7（7+1））/2项的数组A。然而，对于值>7，计算很快就会变得昂贵。

%o加载包（“奏鸣曲”）；#需要加载sonata包才能调用函数Subgroups。奏鸣曲包含在GAP的最新版本中。

%o编号：=[1..7]；；R： =[]；；S： =[]；；

%o代表N do中的i

%o代表N do中的j

%o如果j>i，那么

%o断裂；

%o fi；

%o相加（R，j）；

%o od；

%o增加（S，R）；

%o R：=[]；；

%o od；

%o答：=[]；；

%o代表n do中的n

%o L:=列表（[1..长度（S[n]）]，m->大小（子群（基本AbelianGroup（素数[反向（S[n]）[m]]^（S[n-][m]-1））））；

%o增加（A，L）；

%o od；

%o A:=平面（A）；

%Y参考A000040、A113935、A006116、A006117、A0106119、A0006121、A015197。

%K nonn，表

%0、3

%2024年3月5日，阿迈尔斯·恩格尔苏