%I#30 2024年3月28日14:02:14

%S 1、-5,73、-2765171409、-16145452168436697、-3917233256885、，

%电话：91633164775201，-269550952349064059737498127795037033，

%电话：42379072902094056099652187044171819241257792689，电话：-132053376919779964857906459222746629296857470247551737，电话：737730926306318468533810754685

%N Jacobi椭圆函数sn（x，k）在k=2时的展开（仅奇数幂）。

%D H.S.Wall，连分式分析理论，切尔西1973年，第374页。

%H Paul D.Hanna，n表，n=0..301的a（n）</a>

%F a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}A060628（n，k）*4^k表示n>=0。

%F E.g.F.S（x）=Sum_｛n>=0｝a（n）*x^（2*n+1）/（2*n+1）！满足以下公式，其中sn、cn和dn是雅可比椭圆函数。

%F（1）S（x）=sn（x，k），k=2。

%F（2.a）S（x）=sn（2*x，1/2）/2。

%F（2.b）S（x）=sn（x，1/2）*cn。

%F（3.a）S（x）=级数_反转（积分1/sqrt（（1-x^2）*（1-4*x^2”）dx）。

%F（3.b）S（x）=积分平方（1-S（x。

%F（4.a）S（x）=sin（积分sqrt（1-4*S（x）^2）dx）。

%F（4.b）S（x）=sin（2*积分平方（1-S（x，^2）dx）/2。

%F（5.a）S（x）=平方（1-cn（x，2）^2）。

%F（5.b）S（x）=平方（1-dn（x，2）^2）/2。

%财务报表：x/（1+5*x-4*1*2^2*3*x^2/（1+5X3*2*x-4*4^2*5*x^2/（1+5*5^2*x--4*5*6^2*7*x^ 2/（1+5*7^2*x-4*7*8^2*9*x^2.（1+5*9^2*x…）））-16145045*x^6+。。。（续分数，见Wall，94.17，第374页）。

%F a（n）~（-1）^n*2^（4*n+4）*agm（1,2）^（2*n+2）*n^_瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年3月28日

%例如：S（x）=x-5*x^3/3！+73*x^5/5！-2765*x^7/7！+171409*x^9/9！-16145045*x^11/11！+2168436697*x ^13/13！-391723265885*x ^ 15/15！+。。。

%e，其中S（x）=sn（x，2）。

%p#a（n）=（2*n+1）！*[x^（2*n+1）]sn（x，2）。

%p sn_list:=进程（k，len）局部n；seq（（2*n+1）*系数（级数（JacobiSN（z，k），z，

%p 2*len+2），z，2*n+1），n=0..len）结束：

%p sn_list（2，15）；#_Peter Luschny_，2024年3月25日

%t nmax=20；

%t删除案例[CoefficientList[JacobiSN[x，4]+O[x]^（2*nmax+2），x]，0]*（2*Range[0，nmax]+1）！（*Jean-François Alcover，2024年3月28日*）

%o（PARI）/*S（x）=k=2时的Jacobi椭圆函数sn（x，k）：*/

%o{a（n）=我的（S，k=2）；S=serreverse（整数（1/sqrt（（1-x^2）*（1-k^2*x^2+x*o（x^（2*n+2））））；

%o（2*n+1）*波尔科夫（S，2*n+1）}

%o表示（n=0,20，打印1（a（n），“，”）；

%Y参考A000182（无符号sn（x，1）），A060628（sn（x，k））。

%Y参考A370543（cn（x，2））、A370544（dn（x、2））和A249282。

%K符号

%0、2

%A _保罗·D·汉纳，2024年3月23日