%I#6 2024年2月13日05:16:14

%S 3,6,15,36,98258677183050006133403521595702264851717760，

%电话：189447350318461378840938375030105005017279236168734728565，

%电话：1967715202541663102315061949148412714283881102508246362898403105746277643624820728088064345730605191220

%N和{N>=0}积{k=0..N}（x^k*（1+x）^（N-k）+x^（N-k）*（1+x）^k）的展开式。

%H Paul D.Hanna，n表，n=0..400时的a（n）</a>

%F G.F.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足以下公式。

%F（1）A（x）=和{n>=0}乘积{k=0..n}（x^k*（1+x）^（n-k）+x^（n-k）*（1+x）^k）。

%F（2）A（x）=和{n>=0}（1+x）^（n*（n+1））*乘积{k=0..n}（（x/（1+x））^k+（x/。

%F（3）A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^（n*（n+1）/2）*Product_{k=0。

%F（4）A（x/（1-x））=Sum_{n>=0}1/（1-x）^（n*（n+1）））*Product_{k=0..n}（x^k+x^（n-k））。

%电子表格：A（x）=3+6*x+15*x^2+36*x^3+98*x^4+258*x^5+677*x^6+1830*x^7+5006*x^8+13340*x^9+35215*x^10+95702*x^11+264851*x^12+。。。

%e其中

%e A（x）=（1+1）+（（1+x）+x）*（x+（1+x））+（1+x）^2+x^2）*（x*+（（1+x）^4+x^4）*。。。

%e特定值。

%e A（1/5）=5.4216712041652671338354486。。。

%e A（1/4）=Sum_｛n>=0｝A369676（n）/4^（n*（n+1））=7.1437109433775269577074586。。。

%e A（1/3）=和{n>=0}A369675（n）/3^（n*（n+1））=19.589361786409617133535937。。。

%e A（-1/3）=1.9743720303058511269360725。。。

%e虽然g.f.A（x）在x=-1/2时发散，但它可以正式评估为

%e A（-1/2）=和{n>=0}（-1）^n*2/16^（n^2）=1.875030517549021169。。。

%o（PARI）{a（n）=my（a=总和（m=0，n+1，prod（k=0，m，x^k*（1+x）^（m-k）+x^（m-k）*（1+x）^k+x*o（x^n）））；波尔科夫（a，n）}

%o表示（n=0，40，打印1（a（n），“，”）

%Y参见A369557、A369674、A369695、A36967。

%K非n

%0、1

%A _保罗·D·汉纳，2024年2月13日