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%I#133 2024年1月2日06:06:41
%S 1,2,2,5,3,8,4,8,9,9,6,18,7,12,14,19,9,10,10,27,16,18,12,34,20,21,20，
%电话：30,15,44,16,32,24,27,30,51,19,30,28,49,21,58,22,42,36,24,70,35,47，
%U 36,49,27,66,36,72,40,45,30,88,31,48,62,71,42,74,34,63,48
%N巴赫数：N=w*x+y*z的非负表示数，max（w，x）<min（y，z）。
%当n=p是奇素数时，巴赫证明了a（p）=（p+1）/2。
%对于所有素数p>2k，似乎a（k*p）=σ（k）*（p+1）/2，其中σ（k）是k（A000203）的除数之和。
%C此外，a（p^2）=（p^2+3*p）/2；a（p^3）=（p^3+p^2+p+1）/2；a（p^4）=（p^4+p^3+3p^2+p）/2，对于所有素数p。
%C猜想：（1）a（n）>=σ（n）/2，当且仅当n没有中间除数时相等，即当且仅如果n在A071561中。（2） a（n）/sigma（n）收敛到1/2_Pontus von Brömssen，2023年12月18日
%C来自Chai Wah Wu_，2023年12月19日：（开始）
%C考虑min（w，x）=0的表示，表明a（n）>=2*A066839（n）-A038548（n）。
%对于所有素数p>2，a（p^5）=（p^5+p^4+p^3+p^2+p+1）/2；对于所有素性p，a（p ^6）=（p ^6+p^5+p^4+3p^3+p ^2+p）/2。
%C猜想：对于奇数m和所有素数p>2，a（p^m）=σ（p^ m）/2。对于偶数m和所有素数p，a（p^m）=（sigma（p*m）-1）/2+p*m/2。（结束）
%H Don Knuth，n的表，n的a（n）=1..10000</a>
%H Roland Bacher，<a href=“https://doi.org/101080/00029890.2023.2242034“>费马素数双平方定理的堂吉诃德证明</A>，《美国数学月刊》，第130卷，第9期（2023年11月），824-836；<A href=”https://arxiv.org/abs/2210.07657“>arXiv-version</a>，arXiv:2210.07657[math.NT]，2022。
%H Michael S.Branicky，Knuth的CWEB程序的Python翻译</a>
%H Pontus von Brömssen，n=1..100000的（n，a（n）-sigma（n）/2）曲线图。
%H Pontus von Brömssen，<a href=“/A368207/A368207_1.png”>n=1..100000时的（n，b（n））曲线图，其中a（n）=σ（n）/2+b（n）*sqrt（n）</a>。
%H Don Knuth，CWEB程序。
%H Peter Luschny，<a href=“https://github.com/PeterLuschny/Gists/blob/main/BacherNumbers.pdf“>巴赫数公式。
%设t（n）={d|n和d*d<=n}，如果d*d=n，则s（d，n）=2*d-1，否则4*d-2。然后a（n）=（Sum_{d在t（n）}s（d，n））+（Sum_{k=1.floor（n/2）}Sum_{w在t（k）}Sum_{y在t（n-k）和k<y*w}max（1,2*（[w*w<k]+[y*y<n-k]）），其中[]表示艾弗森括号。（参见下面的“Julia”实现。）-Peter Luschny_，2023年12月21日
%e对于n=13，a（13）=7的解是（w，x，y，z）=（0,0,13），（0,013,1），（1,1,2,6），（1,1,3,4），（1.1,4,3），，（1,1,6,2），（2,2,3,3）。
%t t[n_]：=t[n]=选择[Divisors[n]，#^2<=n&]；
%t A368207[n_]：=总和[（1+Boole[d^2<n]）（2d-1），{d，t[n]}]+总和[如果[wx<y*w，最大值[1，2（Boole[w^2<wx]+Boole[y^2<n-wx]）]，0]，{wx，Floor[n/2]}，{w，t[wx]}、{y，t[n-wx]{]；
%t阵列[A368207100]（*Paolo Xausa_，2024年1月2日*）
%o（CWEB）请参阅链接。
%o（Python）#请参阅Knuth的CWEB程序的翻译链接。
%o（Python）
%o从数学导入isqrt
%o定义A368207（n）：
%o c，r=0，isqrt（n）
%o表示范围（r+1）内的w：
%o对于范围（w，r+1）中的x：
%o wx=w*x
%o如果wx>n：
%o中断
%o表示范围（x+1，r+1）内的y：
%o对于范围（y，n+1）中的z：
%o yz=wx+y*z
%o如果yz>n：
%o中断
%o如果yz==n：
%o m=1
%如果w=x（x）：
%o m<<=1
%如果是的话=z：
%o m<<=1
%o c+=m
%o 2023年12月19日返回c#_Chai Wah Wu_
%o（Python）
%o来自sympy导入除数
%o#更快的程序
%o定义A368207（n）：
%o c=0
%除数（n）中d2的o：
%o如果d2**2>n：
%o中断
%o c+=（d2<<2）-2如果d2**2<n其他（d2<<1）-1
%o对于范围（1，（n>>1）+1）内的wx：
%o表示除数（wx）中的d1：
%o如果d1**2>wx：
%o中断
%除数中d2的o（m:=n-wx）：
%o如果d2**2>m：
%o中断
%o如果wx<d1*d2：
%o k=1
%o如果d1**2！=wx（宽x）：
%o k≤1
%o如果d2**2！=米：
%o k≤1
%o c+=k
%o 2023年12月19日返回c#_Chai Wah Wu_
%o（朱莉娅）
%o功能A368207（n）
%o t（n）=（d代表除数（n）中的d，如果d*d<=n）
%o s（d）=d*d==n？d*2-1:d*4-2
%o c（y，w，wx）=最大值（1,2*（Int（w*w<wx）+Int（y*y<n-wx））
%o总和（如果wx<y*w，则t（n-wx）中y的总和（c（y，w，wx））；初始化=0）
%o表示w in t（wx）），表示wx in 1:div（n，2）；init=t（n）中d的总和（s（d））
%o结束
%o println（[A368207（n）for n in 1:69]）#_Peter Luschny_，2023年12月21日
%Y参见A000203、A071561、A368276（单调）、A368341（不动点）、A368 457、A368458（半素数）和A368580（退化）。
%K nonn公司
%O 1,2号机组
%2023年12月16日，A·Don Knuth_
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