%I#35 2023年12月17日11:22:07

%S 1,0,1,0,2,1,0,9,5,1,0,1,64,37,9,1,0625369,97,14,1,0777646511275，

%电话：205,20,1,011764970993199813410380,27,1,020971521273609365001，

%电话：647017770644,35,1,0430467212626950576285451388310174951158341022,44,1

%N数字三角形T与2-Stirling数字和Lehmer-Comtet数字相关（见注释和公式部分）。

%C三角形T是使用第一类（A049444）和第二类（A143494）的2-斯特林数创建的。异常结构如下：

%C通过递归A（n，k）=A（n-1，k-1）+（k+1）*A（n-1，k）为0<k<n定义A（n、k），初始值A（n）=1，n>=0，A（n和0）=0，n>0。没有k=0列的A为A143494。设B=A^（-1）不含k=0列的A.B的矩阵逆是A049444。现在定义T（m，k）=Sum_{i=0..m-k}B（m-k，i）*A（m-1+i，m-1）为0<k<=m=n/2，T（m、0）=0^m为0<=m=n/2；如果i<j或j<0，则T（i，j）=0。

%T的C矩阵逆是A360753_沃纳·舒尔特（Werner Schulte），2023年2月21日

%C猜想：该数组的转置是第二类Stirling数数组作为方形数组进行LU分解时的上三角矩阵U；相应的下三角数组L是第二类斯特林数的三角形。请参阅下面的示例部分_Peter Bala，2023年10月10日

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition（英语）“>LU分解</a>

%H Aimin Xu，<a href=“https://doi.org/10.2298/FIL1906659X“>涉及Stirling型数量的决定因素，Filomat 33:6（2019），1659-1666。

%F关于三角形T的定义，请参见“注释”部分。

%F推测公式：

%F 1。T（n，k）=（和{i=k.n}A354794（n，i）*（i-1）！）/（k-1）！对于0<k<=n。

%F 2。T（n，k）-k*T（n、k+1）=A354794（n、k），对于0<=k<=n。

%F 3。对于n>0，T（n，1）=A000169（n）=n^（n-1）。

%表格4。T（n，2）=A055869（n-1）=n^（n-1。

%表格5。T（n，k）=（Sum_{i=0..k-1}（-1）^i*二项式（k-1，i）*（n-i）^（n-1））/（k-1）！对于0<k<=n。

%F 6。求和{i=1..n}（-1）^（n-i）*二项式（n-1+k，i-1）*T（n，i）*（i-1）！=（k-1）^（n-1）对于n>0和k>=0。

%F 7。A354795与T的矩阵乘积等于A094587，无列0。

%F 8。T和A354795的矩阵乘积（无列0）等于A088956。

%表格9。列k>0的示例：和{n>=k}T（n，k）*T^（n-1）/（n-1（W（-t）/（.t））*（和{n>=k}A354794（n，k）*t^（n-1）/（n-1！）其中W是Lambert_W-函数。

%e三角形T（n，k），0<=k<=n，开始：

%电话：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

%e（电子）==========================================================================

%电子0:1

%e 1:0 1

%电子2：0 2 1

%电子3:0 9 5 1

%电子邮箱4:0 64 37 9 1

%电子邮箱5:0 625 369 97 14 1

%电子邮箱：0 7776 4651 1275 205 20 1

%电子邮箱7:0 117649 70993 19981 3410 380 27 1

%电子邮箱：0 2097152 1273609 365001 64701 7770 644 35 1

%e 9:0 43046721 26269505 7628545 1388310 174951 15834 1022 44 1

%e等。

%e From _Peter Bala，2023年10月10日：（开始）

%e第二类Stirling数平方数组的LU因子分解（应用Xu，引理2.2）：

%e/1 1 1 11 1 1 1 ... \

%e |1 1||2 5 9…||1 3 6 10 ... |

%e|1 3 1||9 37…|=|1 7 25 65|

%电子|1 7 6 1||64…||1 15 90 350 ... |

%e|…||…||||

%e（结束）

%o（PARI）表（m）={my（n=2*m，A=matid（n），B，T）；对于（i=2，n，对于（j=2，i，A[i，j]=A[i-1，j-1]+j*A[i-1，j]）；B=A^（-1）；T=矩阵（m，m，i，j，if（j==1，0^（i-1），sum（r=0，i-j，B[i-j+1，r+1]*A[i-1+r，i-1]）；}

%Y参见A049444、A143494、A354794、A354/795、A088956、A094587。

%Y请参阅A000007（第0列）、A000169（第1列）和A055869（第2列）。

%Y参考A000012（主对角线）、A000096（第一次对角线的）、A360753（矩阵求逆）。

%K nonn，简单，tabl

%0、5

%A _沃纳·舒尔特，2023年2月15日