%我#10 2022年10月25日05:16:01

%编号：5,10114292610910648462626023448852611913003294625130924082，

%电话：335907928252001838547540484364102135528445260，

%电话：57437799604352457743263522027709396004601870607647687278325428610803458392927979110492662806507721442655949609010

%N a（N）=3*Sum_{k=0..N}二项式（N+k-1，k）^2+2*Sum_{k=0..N}二项式（N+k-1，k）^3。

%C推测：

%C1）a（p）==a（1）（mod p^5），用于除p=5以外的所有奇数素数p（检查到p=271）。

%对于r>=2和所有素数p>=3，C2）a（p^r）==a（pqu（r-1））（mod p^（3*r+3））。

%C3）更一般地，设m是一个正整数，并设u（n）=（m+2）*Sum_{k=0..m*n}二项式（n+k-1，k）^2+2*m*Sum_{k=0…m*n}二项式（n+k-1，k）^3。那么所有素数p>=7的超同余u（p）==u（1）（mod p^5）都成立。

%对于r>=2和所有素数p>=3，C4）u（p^r）==u（pqu（r-1））（mod p^（3*r+3））。

%e a（11）-a（1）=10213552844755260-10=2*（5^2）*（11^5）*14657*865363==0（11^ 5模）。

%e a（5^2）-a（5）=58155375265915068238486405981408760-4846260=3*（2^2）*（5^9）*5611847956825027*4421531072180960789

%p seq（加上（3*二项式（n+k-1，k）^2+2*二项法（n+k-1，k）^3，k=0..n），n=0..20）；

%o（PARI）a（n）=3*和（k=0，n，二项式（n+k-1，k）^2）+2*和_米歇尔·马库斯，2022年10月25日

%Y参见A357566、A357671、A35767、A35763、A3576.74。

%K nonn，简单

%0、1

%阿佩特·巴拉，2022年10月16日