%I#18 2020年1月14日01:10:02

%S 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,4,5,4,1,1,5,9,5,1,1,6,7,16,7,6,1,1,7,15,25，

%电话25,15,7,1,1,8,11,36,11,361,8,1,1,9,27,49,35,49,27,9,1,10,25，

%U 64,13,10,13,64,25,10,1,11,21,81125,77,77125,81单元

%N以A059897（.，.）作为加法算子且与GF（2）[x，y]同构的正整数上的环的乘法算子，A329050（i，j）是x^i*y^j的象。

%C平方数组A（n，k），n>=1，k>=1。

%C由正整数上的二元运算A059897（.，.）定义的群与所有元素自反是可交换的，并且同构于GF（2）多项式环的加法群，例如GF（2[x，y]。在各自的最小生成集之间扩展每个双射映射有一个唯一的同构。A059897群最早的最小生成集是A050376，通常称为费米-迪拉克素数。该集合在方形数组中有一个自然排列，由A329050（i，j）=素数（i+1）^（2^j），i>=0，j>=0给出。GF（2）[x，y]加法群最有意义的生成集是{x^i*y^j:i>=0，j>=0），它类似地形成了一个方形数组。所有这些使得A329050（i，j）特别适合作为GF（1）多项式x^i*y^j的象（同构下）。

%用g表示预期的同构，我们指定g（x^i*y^j）=A329050（i，j）。这映射了加法群的最小生成集，因此通过指定g（a+b）=A059897（g（a），g（b））来完成g的定义。然后我们计算GF（2）[x，y]中多项式乘法的g下的图像，给出这个序列作为正整数上同构环的匹配乘法算子。用f表示g的逆，A[n，k]=g（f（n）*f（k））。

%C基于A329050阵列的替代定义，独立于GF（2）[x，y]，参见公式部分。

%C与A306697和A297845密切相关。如果将替代定义中的A059897替换为A059896（并且定义由吸收元件的导出恒等式补充，如公式部分所示），则得到A306697；如果A059897类似地被A003991（整数乘法）替换，则得到A297845。该序列和A306697被认为是乘法运算符，是A297845的无进位算术等价物。当存在乘法进位时，A306697使用类似于binary-OR的方法，而此序列使用类似于二进制exclusive-OR的方式。因此，当A306697（n，k）<>A297845（n，k）。这3个序列之间的关系不是对称的：存在n和k，因此A（n，k）=A306697（n，k）<>A297845（n，k]。例如，A（54,72）=A306697（54,7.2）=273375000。

%H Rémy Sigrist，适用于A329329的PARI程序</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Ring.html“>戒指</a>

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Generating_set_of_a_group“>组的生成集</a>

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring（英文）“>多项式环</a>

%F替代定义：（开始）

%F A（A329050（i_1，j_1），A329050。

%F A（A059897（n，k），m）=A059897.（A（n，m），A（k，m））。

%F A（m，A059897（n，k））=A059897。

%F（完）

%F派生身份：（开始）

%F A（n，1）=A（1，n）=1（1是吸收元件）。

%F A（n，2）=A（2，n）=n。

%F A（n，k）=A（k，n）。

%F（n，A（m，k））=A（A（n，m），k）。

%F（完）

%F A（A019565（i），2^j）=A019565，（i）^j=A329332（i，j）。

%F A（A225546（i），A225546。

%F A（n，k）=A306697（n，k）=A297845（n，k），对于n=A050376（i），k=A050376（j）。

%F A（n，k）<=A306697（n，k）<=A297845（n，克）。

%当且仅当A306697（n，k）<A297845。

%e正方形阵列A（n，k）开始：

%电子邮箱|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

%e（电子）---+-------------------------------------------------------------

%e 1 |1 11 11 11 1 1 1 1 11 1 1

%电子邮箱2 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

%电子邮箱3|1 3 5 9 7 15 11 27 25 21 13 45

%电子邮箱4 |1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

%电子邮箱：5|1 5 7 25 11 35 13 125 49 55 17 175

%电话：6|1 6 15 36 35 10 77 216 225 210 143 540

%电子邮箱：7 |1 7 11 49 13 77 17 343 121 91 19 539

%电子邮箱8 |1 8 27 64 125 216 343 32 729 1000 1331 1728

%电子邮箱9 | 1 9 25 81 49 225 121 729 625 441 169 2025

%电子邮箱：10 | 1 10 21 100 55 210 91 1000 441 22 187 2100

%e 11 | 1 11 13 121 17 143 19 1331 169 187 23 1573

%电子邮箱：12 | 1 12 45 144 175 540 539 1728 2025 2100 1573 80

%o（PARI）参见链接部分。

%Y参见A050376、A019565、A329332。

%Y A059897、A225546、A329050用于表示此序列项之间的关系。

%Y相关二进制运算：A297845/A003991、A306697/A059896。

%K nonn，表

%O 1,5型

%2019年11月11日，阿佩特·穆恩