%I#149 2024年2月9日12:37:35

%S 1,1,1,1,31,1121121,1,1271481271,148110811081481,1,1751，

%电话：192124311921751,1108130014321432130011081,1114714321，

%电话：67517681675143211471,119215881972112001120011972158811921,1

%N行读取的三角形：T（N，k）=30*k^2*（N-k）^2+1；n>=0，0<=k<=n。

%C来自科洛索夫石油公司，2020年4月12日：（开始）

%C设A（m，r）=A302971（m，r）/A340042（m，r）。

%C设L（m，n，k）=和{r=0..m}A（m，r）*k^r*（n-k）^r。

%C则T（n，k）=L（2，n，k。

%C五次幂可以表示为三角形T（n，k）的行和。

%C T（n，k）是对称的：T（n、k）=T（n和n-k）。（结束）

%H Kolosov Petro，<a href=“/A300656/b300656.txt”>三角形的n=0..2078行，扁平</a>。

%H Kolosov Petro，<a href=“https://arxiv.org/abs/1603.02468“>关于二项式定理与幂函数离散卷积之间的联系，arXiv:1603.02468[math.NT]，2016-2020。

%H Petro Kolosov，<a href=“https://kolosovpetro.github.io/pdf/PolynomialIdentityInvolvingBT和Faulhaber.pdf“>涉及二项式定理和Faulhaber公式的多项式恒等式，2023年。

%H Petro Kolosov，<a href=“https://kolosovpetro.github.io/pdf/HistoryAndOverviewOfPolynomialP.pdf“>多项式P_b^m（x）的历史和概述，2024年。

%F来自科洛索夫石油公司，2020年4月12日：（开始）

%F T（n，k）=30*k^2*（n-k）^2+1。

%F T（n，k）=30*A094053（n，k）^2+1。

%F T（n，k）=A158558（（n-k）*k）。

%F T（n+2，k）=3*T（n+1，k）-3*T（n，k）+T（n-1，k），对于n>=k。

%F和{k=1..n}T（n，k）=A000584（n）。

%F和{k=0..n-1}T（n，k）=A000584（n）。

%F和{k=0..n}T（n，k）=A002561（n）。

%F和{k=1..n-1}T（n，k）=A258807（n）。

%F和{k=1..n-1}T（n，k）=-A024003（n），n>1。

%F Sum_｛k=1..r｝T（n，k）=A316349（2，r，0）*n^0-A316349（2，r，1）*n^1+A316349（2，r，2）*n^2。（结束）

%财务报表：（1+26*y+336*y^2+326*y^3+31*y^4+x^2*（1+116*y+486*y^2+116*y^3+y^4）+x*（-2-82*y-882*y^2-502*y^3+28*y ^4））/（（-1+x）^3*（-1+y）^5）_Stefano Spezia，2018年10月30日

%e三角形开始：

%e（电子）--------------------------------------------------------------------------

%e k=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

%e（电子）--------------------------------------------------------------------------

%e n=0:1；

%e n=1:1；

%e n=2:1，31，1；

%e n=3:121121，1；

%e n=4:1271481271，1；

%e n=5:14811081081481；

%e n=6:175119212431921751,1；

%e n=7:1108130014321432130011081，1；

%e n=8：1，1471，4321，6751，7681，6751，4321，1471，1；

%e n=9:119215881972112001120019721588119211921；

%e n=10:1243176811323117281187511728113231768124311；

%p a：=（n，k）->30*k^2*（n-k）^2+1:seq（seq（a（n，k），k=0..n），n=0..9）；#_Muniru A Asiru_，2018年10月24日

%tT[n_，k_]：=30 k^2（n-k）^2+1；列[

%t表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]，中心]（*_Kolosov Petro_，2020年4月12日*）

%t f[n_]：=表[级数系数[（1+26 y+336 y^2+326 y^3+31 y^4+x^2（1+116 y+486 y^2+116 y^3+y^4）+x（-2-82 y-882 y^2-502 y^3+28 y^4；扁平[阵列[f，11，0]]（*_Stefano Spezia_，2018年10月30日*）

%o（PARI）t（n，k）=30*k^2*（n-k）^2+1

%o三角形行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（t（x，y），“，”））；打印（“”）

%o/*按如下方式打印最初的9行三角形*/trianglerows（9）

%o（GAP）T:=平面（列表（[0..9]，n->列表（[0..n]，k->30*k^2*（n-k）^2+1））；#_Muniru A Asiru_，2018年10月24日

%o（岩浆）[0..12]]中的[30*k^2*（n-k）^2+1:k_G.C.Greubel，2018年12月14日

%o（Sage）[[30*k^2*（n-k）^2+1代表k在范围（n+1）内]代表n在范围（12）内]#_G.C.Greubel_，2018年12月14日

%Y L（m，n，k）的各种情况：A287326（m=1），这个序列（m=2），A300785（m=3）。见L（m，n，k）的注释。

%Y行总和给出A002561的非零项。

%Y参见A000584、A287326、A007318、A077028、A294317、A068236、A302971、A304042、A002561、A258807、A158558、A094053、A024003、A316349。

%K nonn，表格，简单

%0、5

%A科洛索夫石油公司，2018年3月10日