%我#72 2024年3月14日16:29:44

%S 1,1,3,1,15,9,1,63108,27,1255945594,81,11023738087752835243，

%电话：14095547291098906318012393729,11638339538812630871151010，

%电话：387828510302187,1655352816865138170341875239196582782133054201604661262143199146601466209352852232185210789621695028601082565076763719683

%N Sheffer三角形（exp（x），exp（3*x）-1）。命名为S2[3,1]。

%C关于Sheffer三角形（无限下三角指数卷积矩阵），请参阅A006232下的W.Lang链接及其参考）。

%C列m序列的示例f.为（Sheffer属性）exp（x）*（exp（3*x）-1）^m/m！。

%C这是Sheffer三角形Stirling2（n，m）=A048993（n，m）的推广，由（exp（x），exp（x）-1）表示，可命名为S2[1,0]。

%C该Sheffer三角形的a序列具有例如f.3*x/log（1+x）和3*A006232（n）/A006233（n）（第一类Cauchy数）。

%C z序列有例如f.（3/（log（1+x）））*（1-1/（1+x）^（1/3）），是A284857（n）/A284858（n）。

%C主对角线给出A000244。

%C行总和为A284859。交替行和得出A284860。

%三角形出现在序列{（1+3*m）^n}_{m>=0}的o.g.f.g（n，x）中，g（n、x）=Sum_{m=0..n}T（n，m）*m*x^m/（1-x）^（m+1），n>=0。因此，对应的例子f是，通过线性拉普拉斯逆变换，e（n，t）=Sum_{m>=0}（1+3*m）^n t^m/m！=exp（t）*Sum_{m=0..n}t（n，m）*t^m。

%C对应的具有反向行的欧拉三角形是rEu（n，k）=Sum_{m=0..k}（-1）^（k-m）*二项式（n-m，k-m）*T（n，k）*k！，0<=k<=n。这是A225117，具有行反转。

%C第一列k序列除以3^k为A000012、A002450（带前导0）、A016223、A021874。例如，f.s和o.g.f.s见下文_Wolfdieter Lang，2017年4月9日

%C From _Wolfdieter Lang，2017年8月9日：（开始）

%作为Boas-Buck类的特殊多项式，Sheffer三角形S2[d，a]的一般行多项式R（d，a；n，x）=和{k=0..n}T（d，a:n，m）*x^m满足恒等式（参见参考文献，我们使用Rainville定理50的符号，第141页，适用于指数生成函数）

%C（E_x-n*1）*R（d，a；n，x）=-n*a*R。

%C对于n>m，这需要对m列序列进行重复：

%C T（d，a；n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2*a+d*m）*T（d；a；n-1，m）+m*Sum_{p=m..n-2}二项式（n，p）（-d）^（n-p）*Bernoulli（n-p_Wolfdieter Lang，2017年8月9日（结束）

%C该三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆矩阵为S1[3,1，有理元素S1[3,1]（n，k）=（-1）^（n-k）*A286718（n，k）/3^k.-_Wolfdieter Lang，2018年11月15日

%C以美国数学家伊萨多·米切尔·谢弗（1901-1992）的名字命名_Amiram Eldar，2021年6月19日

%D Ralph P.Boas，Jr.和R.Creighton Buck，分析函数的多项式展开式，Springer，1958年，第17-21页，（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。

%D Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。76, 140 - 146.

%H Michael De Vlieger，n表，a（n）表示n=0..11475，行n=0..150，扁平。

%H PawełHitczenko，<a href=“https://arxiv.org/abs/2403.03422“>导致（n/log n，n/log^2 n）-渐近正态性的一类多项式递归，arXiv:2403.03422[math.CO]，2024。见第9页。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“http://arXiv.org/abs/1707.04451“>关于算术级数的幂和，以及广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:math/1707.04451[math.NT]，2017年7月。

%H Wolfdieter Lang，<a href=“https://arxiv.org/abs/11708.01421“>关于Sheffer和Riordan数字三角形对角线序列的生成函数，arXiv:1708.01421[math.NT]，2017年8月。

%F列m=0的项T（n，0）=1在上述z序列中的非平凡递归：T（n、0）=n*Sum_{j=0..n-1}z（j）*T（n-1，j），n>=1，T（0，0）=1。

%F上述a序列中列m>=1项的递归：T（n，m）=（n/m）*和{j=0..n-m}二项式（m-1+j，m-1）*a（j）*T（n-1，m-1+j），m>=1。

%F行多项式R（n，x）（Meixner型）的递归性：R（n、x）=（（3*x+1）+3*x*d_x）*R（n-1，x），带微分d_x，对于n>=1，输入R（0，x）=1。

%F T（n，m）=和{k=0..m}二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！，0<=m<=n。

%三角形的示例：exp（z）*exp（x*（exp（3*z）-1））（谢弗型）。

%F例如，m列的序列为exp（x）*（（exp（3*x）-1）^m）/m！（谢弗财产）。

%F来自Wolfdieter Lang_，2017年4月9日：（开始）

%F标准三项递归：如果n<m，T（n，-1）=0，T（0，0）=1，T（m，n）=3*T（n-1，m-1）+（1+3*m）*T（n-1，m）=n>=1。根据T（n，m）公式。与A225466中给出的S2[3,2]的复发率进行比较。

%F列m序列的o.g.F.是3^m*x^m/Product_{j=0..m}（1-（1+3*j）*x）。（完）

%F根据Stirling2=A048993:T（n，m）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*3^k*Stirling2（k，m），0<=m<=n.-Wolfdieter Lang_，2017年4月13日

%F列序列m:T（n，m）=（1/（n-m））*[（n/2）*（2+3*m）*T（n-1，m）+m*Sum_{p=m..n-2}二项式（n，p）（-3）^（n-p）*Bernoulli（n-p_Wolfdieter Lang，2017年8月9日

%e三角形T（n，m）开始于：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

%电子0:1

%e 1：1 3

%电子2：1 15 9

%电子3:1 63 108 27

%电子邮箱：1 255 945 594 81

%电子邮箱5:1 1023 7380 8775 2835 243

%电子邮箱：1 4095 54729 109890 63180 12393 729

%电子邮箱：1 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187

%电子邮箱：1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561

%电子邮箱：1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683

%e。。。

%e（电子）------------------------------------------------------------------------------------

%e z序列中m=0列的非平凡递归：T（4,0）=4*（1*1+63*（-1/6）+108*（11/54）+27*（-49/108））=1。

%e a序列m=2列的递归：T（4，2）=（4/2）*（1*63*3+2*108*（3/2）+3*27*（-3/6））=945。

%e行多项式R（3，x）（Meixner型）的递归：（（3*x+1）+3*x*d_x）*（1+15*x+9*x^2）=1+63*x+108*x^2+27*x^3。

%n=1的e例如f.和o.g.f.的幂为{（1+3*m）^1}_{m>=0}A016777:e（1，x）=exp（x）*（T（1,0）+T（1,1）*x）=exp（x）*（1+3*x）。O.g.f.：g（1，x）=T（1，0）*0/（1-x）+T（1,1）*1*x/（1-x）^2=（1+2*x）/（1-x）^2。

%e列m=2，n=4:T（4，2）=（1/2）*[2*（2+3*2）*T（3，2）+2*6*（-3）^2*伯努利（2）*T（2，2）]=（1/2）*（16*108+12*9*（1/6）*9）=945。-_Wolfdieter Lang，2017年8月9日

%t表[和[二项式[m，k]（-1）^（k-m）（1+3 k）^n/m！，{k，0，m}]，{n，0，9}，{m，0，n}]//平展（*Michael De Vlieger_，2017年4月8日*）

%o（PARI）T（n，m）=总和（k=0，m，二项式（m，k）*（-1）^（k-m）*（1+3*k）^n/m！）；

%o表示（n=0，9，表示（m=0，n，打印1（T（n，m），“，”）；）；打印（）；）\\_Indranil Ghosh，2017年4月8日

%Y参见A000012、A000244、A006232/A006233、A016777、A024036、A111577、A225117、A225466、A284857、A284848、A28485、A284860、A28486、A286718。

%K nonn，简单，tabl

%0、3

%2017年4月3日