%I#36 2017年9月14日03:56:38

%S 1,1,1,1,3,2,1,9,16,8,1,27,98120,48,1,8154412321152384,1243，

%电话28821080017760134403840,17291489687128224640289920184320，

%电话：46080，121877593866948025428498624052953602903040645120，165613840649901122691763275204811870208089920516096001021920

%行读取的N三角形T（N，k）：行N为N>=0给出了用于{和{j=1..m}（1+2*j）^N}_{m>=0}的指数生成函数的指数分子多项式的系数。

%C添加了n=-1行和T（-1，0）=1，以形成三角形，但未使用。

%对于n>=0，指数行多项式是R（n，t）=Sum_{k=0..n+1}t（n，k）*t^k/k！。

%C例如：Eodd（n，t）=Sum_{m>=0}Sodd（n，m）*t^m/m！Sodd（n，m）=Sum{j=0..m}（1+2*j）^n是R（n，t）*exp（t），对于n>=0。

%这个三角形是A060187的e.g.f.同伴，它给出了{Sodd（n，m）}_{m>=0}的o.g.f.s的行多项式的系数，它们是

%CG（n，x）=和{k=0..n}A060187（n+1，k+1）*x^k/（1-x）^（n+2），对于n>=0。

%C拉普拉斯逆变换L^[-1]用于从A060187获得当前三角形。为此，使用以下重新排序标识：

%C（和{j=0..n}a（n，j）*x^j）/（1-x）^。这可以通过与（1-x）^（n+1）相乘并使用二项式定理找到第一个a（n，j）=Sum_{i=0..min（n，j）}（-1）^[j-i]*二项式（n-i，j-i）*b（n，i）来证明。然后，使用Graham等人（第169页）的二项式恒等式（5.24），根据a求出b，从而将其颠倒过来。

%这最终导致拉普拉斯逆变换公式L^[-1]{（Sum_{j=0..n}a（n，j）*x^j）/（1-x）^（n+1）}=exp（t）*Sum__{k=0..n{b（n，k）*t^k/k！，对于n>=0，使用b（n，k）的给定表达式。然后将其应用于上述o.g.f.g（n，x）。

%C On可以从S（n，m）=Sum_{j=1..n}j^n通过j和的平分得到Sodd（n，m）=S（n、2*（m+1））-2^n*S。

%C三角形的第一列是A000012、A000244、2*A005059、8*A017389、48*A028060。。。

%C n>=0的对角线为A000165。这与下面给出的T（n，k）的第二个公式兼容。

%C有关n=0..4的生成序列，请参见A000027、A000290、A000447、A002593、A002309。

%C（具有不同的偏移）。

%D Ronald L.Graham、Donald E.Knuth和Oren Patashnik，混凝土数学。，第二版。；Addison-Wesley，1994年，第169页，等式（5.24）。

%对于k>n+1，F T（n，k）=0，T（-1，0）=1，以及

%F T（n，k）=和{j=0..min（n+1，k）}二项式（n+1-j，k-j）*A060187（n+1、j+1），对于n>=0且k=0..n+1。

%F T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k-1，j-1）*。

%e三角形T（n，k）开始（第n行=-1未使用）：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8

%电子-1:1

%e+0:1 1

%e+1:1 3 2

%电子+2：1 9 16 8

%电话+3:1 27 98 120 48

%电话+4:1 81 544 1232 1152 384

%电话+5:1 243 2882 10800 17760 13440 3840

%电话+6:1 729 14896 87128 224640 289920 184320 46080

%电话：1 2187 75938 669480 2544528 4986240 5295360 2903040 645120

%e。。。

%e行n=8:1 6561 384064 4990112 26917632 75204864 118702080 107089920 51609600 10321920，

%e行n=9:1 19683 1933442 36467040 272199360 1042594560 2295175680 3030773760 2376622080 1021870080 185794560。。。

%e n=0：奇数（0，t）=R（0，t）*经验（t）=（1+1*t）*经验。G（0，x）=1/（1-x）^2。

%e n=2:奇数（3，t）=（1+9*t+16*t^2/2！+8*t^3/3！）*exp（t），G（2，x）=（1+6*x+x^2）/（1-x）^4。

%t表[总和[（-1）^（k-j）二项式[k-1，j-1]（2j+1）^n，{j，0，k}]，{n，-1，8}，{k，0，n+1}]//展平（*Michael De Vlieger_，2017年3月17日*）

%o（PARI）{对于（n=-1，8，对于（k=0，n+1，print1）（如果（k==0，1，sum（j=0，k，（-1）^（k-j）*二项式（k-1，j-1）*（2*j+1）^n）），“，”）；）；print（）；）

%Y参考A060187、A000165（对角线）。

%Y列：A000012、A000244、2*A005059、8*A017389、48*A028060。

%Y Cf.生成的序列（偏移量不同）：A000027、A000290、A000447、A002593、A002309。

%K nonn，简单，tabl

%O-1,5型

%A _沃尔夫迪特·朗，2017年3月14日