%I#42 2019年3月15日14:48:52

%序号1、2、4、7、16、34、78178

%N最小数k，使得对于每个m>=k，存在一组N个正整数，其最大元素为m，并且其子集都具有不同的算术平均数。

%C如果一组整数满足其任意两个不同子集的算术平均值不同（忽略空集），则将其称为“不同平均值”。例如，集合{1,2,5}的平均值不同，因为1！=2 != 5 != （1+2）/2！=(1+5)/2 != (2+5)/2 != (1+2+5)/3.

%为了使集合具有不同的平均值，很明显，它的所有元素都必须不同。此外，如果一个集合具有不同的平均值，并且将常数k添加到所有项中，则生成的集合也将具有不同的均值。因此，为了研究此类集合，可以方便地选择任意的第一个元素，例如1。根据定义，a（n）>=A259544（n）。

%如果我们已经有了不同的（n-1）项平均序列：1<a_2<<a_（n-1），并加上满足以下条件的项a_n：（i）包括a_n的任何集合的平均值大于a_（n-1），以及（ii）如果两个集合包括a_n，则具有更多元素的那个集合将具有较低的平均值，则任何大于该特定a_n的a_n也将满足这些性质，因此它提供了a（n）的上界。可以很容易地证明，通过以这种方式递归地构造a（n）的界，得到的序列是Sum_{j=1..n-1}j！。

%C但通过考虑A259544（n-1）的上限，可以找到更好的上限。这是4^（n-2），实际上，对于1<=k<=n-1，边界4^。因此，存在不同的n-1元素平均序列，其中1=a_1=4^0，a_2<4^1，a3<4_2，等等，直到a_（n-1）<4^（n-2）。我们看到，对于这个序列，在最坏的可能情况下，条件（ii）比（i）更具限制性，并且它提供了界限：a（n）<（n-1）4^（n-l）/3，n>=3。

%C猜想：a（n）=A259544（n）仅适用于有限个n。假设这是真的，a（n”-A259544（n）的增长顺序是什么？

%C猜想：lim_{n->inf}a（n）/A259544（n）=1，实际上界<4^（n-1），n>1对a（n。

%C推测：a（n）<A259544（n+1）。（这似乎很明显，但缺乏证据。）

%哈维尔·穆吉卡（H Javier Mügica），<a href=“/A259545/A259545.txt”>不同的平均集，多达219个</a>，从这里可以获得到第8个序列的值（有更多不同的平均值集）

%Y参考A259544。

%K nonn，更多，难

%O 1,2号机组

%2015年6月30日，哈维尔·穆吉卡