%I#76 2024年8月2日18:32:26
%S 1,1,0,1,1,1,0,1,1,2,1,0,0,11,1,1,1,1,1,1,1,0,11,0,1,0,1,1,1,0,0，
%温度0,0,1,1,0,1,01,1,2,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,2,2,1,1,1，
%U 1,2,1,0,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1,0,0,1,00,00,0，1,1,2,2,2
%N行读取的三角形：第N行给出A237048第N行的部分交替和。
%C三角形中的所有条目都是非负的，因为A237048中奇数列中j列之前的1，1<=j<=行（n）中的1，至少与通过j列的偶数列中的1一样大。因此：
%C（a）腿部由三角形A237593的相邻行定义的两个相邻对称Dyck路径从不相互交叉（另见A235791和A237591），并且该三角形中的行描述腿部之间的宽度。
%C（b）让支腿（n）表示三角形A237591的第n行，宽度（n）为该三角形的第n排，以及C（n）该三角形第n行中最右边的条目（Dyck路径的中心）。则面积（n）=2*支腿（n）。宽度（n）-c（n），其中“.”是内积，是两条相邻对称Dyck路径之间的面积。
%C（C）对于某些整数序列，已知面积（n）=σ（n）；参见A238443、A245685、A246955、A2460956和A247687。
%C右边框表示A067742。-_Omar E.Pol_，2017年1月21日
%C关于T（n，k）=|{d:d|n和k/2<d<=k}的证明，对于1<=k<=row（n），一个由_Peter Munn_建议的恒等式，请参阅链接。它的一个推论是，在半开区间（行（n）/2，行（n。另请参见A067742和A237593中_Michel Marcus_的评论和推测_Hartmut F.W.Hoft_，2024年6月24日
%C From _Omar E.Pol_，2024年7月24日：（开始）
%C猜想1：每一列都是一个周期序列。
%C猜想2：第1..8列的周期分别为：1、2、6、12、60、60、420、840。
%C问题1：k列的周期是否等于A003418（k）？（结束）。
%C From _Omar E.Pol_，2024年7月26日：（开始）
%C第1列给出A000012。
%C第2列给出A000035。
%C猜想3：第3列给出[2,0]和A115357，因此第3列得出2和A171182。
%C问题2：除A337976的前九项外，第4列与A337975相同吗？
%C问题3：除A366981的前14项外，第5列与A36698l相同吗？（结束）
%C From _Hartmut F.W.Hoft_，2024年8月1日：（开始）
%C猜测1和2是正确的，问题1的答案是肯定的。
%C根据定义，序列A237048的三角形T237048（n，k）中的每一列k是周期k的周期序列。由于三角形的第n行中的第k项T（n，k）=Sum_{i=1..k）（（-1）^（i+1）*T237048（n，i）），其中1<=k<=A0003056（n），因此该三角形中第n行的每个初始子序列T（n，1）.T（n，k）是周期lcm（1，..，k）=A003418（k）。这意味着该序列中的每列k都有句点A003418（k）。
%猜测3和问题2是正确的。由于T237048（n，1）=1，T237208（n，2）=1（如果n为奇数），0（如果n为偶数），T237048（n，3）=1（如果3|n，否则为0），以及T237048（n，4）=1（如果4|（n-2），否则为0），因此方程T249223（n，3）=1-（n mod 2）+delta（n mod 3）和T249223（n，4）=1-（n mod 2）+delta（n mod 3）-delta（（n-2）mod 4）成立，其中delta（k）=1（如果k=0），否则为0。第三列从n=A000217（3）=6开始，每一个以6的倍数开始的周期为[2 0 1 1 0]，适当的移位产生A115357和A171182。当第四列从n=A000217（4）=10开始时，以12|（n+2）开始的第n行中的每个周期为[0 0 2 0 0 1 1 0 1 1]，如果偏移9，则产生明显周期的A337976（10）、A337975（11）。。。（结束）
%H G.C.Greubel，n表，a（n），前150行，扁平</a>
%H Hartmut F.W.Hoft，<a href=“/A249223/A249223.pdf”>半开区间n的除数d（k/2，k]</a>
%F T（n，k）=和{j=1..k}（-1）^（j+1）*A237048（n，j），对于n>=1和1<=k<=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2）由_Hartmut F.W.Hoft于2018年1月25日更正
%e三角形开始：
%e（电子）---------------------------
%电子1 2 3 4 5 6
%电子---------------------------
%e 1|1；
%e2|1；
%e 3|1，0；
%e 4|1，1；
%e 5|1，0；
%e 6|1，1，2；
%e 7|1，0，0；
%e 8|1，1，1；
%e 9|1，0，1；
%e 10|1，1，1，0；
%e 11|1,0,0,0；
%e 12 | 1，1，2，2；
%e 13|1,0,0,0；
%e 14 |1，1，1，0；
%e 15 |1，0，1，1，2；
%e 16|1,1,1,1,1；
%e 17|1，0，0，0,0；
%e 18 | 1，1，2，1，1；
%e 19 |1，0，0，0,0；
%e 20|1,1,1,1,2；
%e 21|1,0,1,1,1,0；
%e 22|1,1,1,0,0,0；
%e 23|1，0，0，0,0，0；
%e 24 |1，1，2，2，2,2；
%e。。。
%e三角形表明，对于2的幂，区域（n）的宽度为1，而素数p的区域（p）仅由1个宽度为1的水平腿组成（以及该三角形镜像对称副本中的对称垂直腿）。
%p r：=工艺（n）层（（sqrt（1+8*n）-1）/2）；结束程序：#R.J.Mathar 2015 A003056
%p A237048:=程序（n，k）局部i；全球r；
%p如果n<（k-1）*k/2或k>r（n），则返回（0）；fi；
%p如果（k mod 2）=1且（n mod k）=0，则返回（1）；fi；
%p如果（k mod 2）=0且（n-k/2）mod k）=0，则返回（1）；fi；
%p返回（0）；
%p端；
%p A249223:=程序（n，k）局部i；全球r，A237048；
%p如果n<（k-1）*k/2或k>r（n），则返回（0）；fi；
%p加（（-1）^（i+1）*A237048（n，i），i=1..k）；
%p端；
%p表示n从1到12进行lprint（[seq（A249223（n，k），k=1..r（n））]）；od；编号_N.J.A.Sloane，2021年1月15日
%t cd[n_，k_]：=如果[可除[n，k]，1，0]；行[n_]：=楼层[（Sqrt[8n+1]-1）/2]；a237048[n_，k_]：=如果[OddQ[k]，cd[n，k]，cd[n-k/2，k]]；
%t a1[n，k_]：=总和[（-1）^（j+1）*a237048[n，j]，{j，1，k}]；
%ta2[n_]：=拖放[FoldList[Plus，0，Map[（-1）^（#+1）&，范围[row[n]]a237048[n]]，1]；压扁[Map[a2，Range[24]]]（*数据*）（*由_G.C.Greubel_校正，2017年4月16日*）
%o（PARI）t237048（n，k）=如果（k%2，（n%k）==0，（（n-k/2）%k）==0）；
%o kmax（n）=（sqrt（1+8*n）-1）/2；
%o t（n，k）=总和（j=1，k，（-1）^（j+1）*t237048（n，j））；
%o tabf（nn）={表示（n=1，nn，表示（k=1，kmax（n），打印1（t（n，k），“，”）；）；}\\_Michel Marcus_，2015年9月20日
%Y行n的长度为A003056（n）。
%Y第k列从第A000217（k）行开始。
%Y参见A000012、A000035、A000203、A003418、A067742、A115357、A171182、A237048、A237270、A237271、A237593、A238443、A245685、A246955、A247956、A247687、A337976、A366981。
%K nonn，标签
%O 1,11号
%A _哈特穆特·F·W·霍夫特，2014年10月23日
