%I#45 2021年2月16日08:12:27

%S 1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,3,5,1,1,4,11,14,1,1,5,1,9,45,42,1,1,1,16,6，

%电话：29100197132,1,1,7,41185562903429,1,1,8,5530612573304，

%电话：42791430,1,1,9,714692426892520071207934862,1

%Narayana多项式的N平方数组N_N在整数A（N，k）=N_N（k），N>=0，k>=0处求值，由反对偶读取。

%C A008550的镜像。-_菲利普·德雷厄姆，2014年9月26日

%H Seiichi Manyama，反对角线n=0..139，扁平</a>

%F T（n，k）=2F1（[1-n，-n]，[2]，k），2F1超几何函数。

%F T（n，k）=P（n，1，-2*n-1,1-2*k）/（n+1），P雅可比多项式。

%F T（n，k）=总和（j=0..n-1，二项式（n，j）^2*（n-j）/（n*（j+1））*k^j），对于n>0。

%F有关重现性，请参阅第二个Maple程序。

%F第n列的o.g.F.为gf（n）=2/（sqrt（（n-1）^2*x^2-2*（n+1）*x+1）+（n-1_Peter Luschny_，2014年11月17日

%F T（n，k）~（平方（k）+1）^（2*n+1）/（2*sqrt（Pi）*k^（3/4）*n^（3/2））_Peter Luschny_，2014年11月17日

%F对于n>=1，第n行可以通过线性递推计算，a（x）=和（k=1..n，（-1）^（k+1）*二项式（n，k）*a（x-k）），初始值a（k）=p（n，k），对于k=0..n和p（n、x）=总和（j=0..n-1，二项式，n-1，j）*二项式（n、j）*x^j/（j+1））（在第四个Maple脚本中实现）_Peter Luschny_，2014年11月19日

%F（n+1）*T（n，k）=（k+1）*（2*n-1）*T_Seiichi Manyama_，2020年8月8日

%F和{k=0..n}T（k，n-k）=和{k=0..n}2F1（[-k，1-k]，[2]，n-k_G.C.Greubel，2021年2月16日

%电子[0][1][2][3][4][5][6][7]

%e[0]1，1，1，1，1，1，1，1，1

%e[1]1，1，1

%e[2]1、2、3、4、5、6、7、8。。A000027号

%e[3]1、5、11、19、29、41、55、71。。A028387号

%e[4]第1、14、45、100、185、306、469、680页。。A090197号

%电子[5]1、42、197、562、1257、2426、4237、6882。。A090198号

%e[6]1、132、903、3304、8925、20076、39907、72528。。A090199号

%电子[7]1、429、4279、20071、65445、171481、387739、788019。。A090200型

%e A000108、A001003、A007564、A059231、A078009、A078018、A081178

%e反对角线三角形的前几行是：

%e 1；

%e 1，1；

%e 1、1、1；

%e 1、1、2、1；

%e 1、1、3、5、1；

%e 1、1、4、11、14、1；

%e 1、1、5、19、45、42、1；-_G.C.Greubel，2021年2月16日

%p#用Narayana多项式计算：

%p N：=（N，k）->二项式（N，k）^2*（N-k）/（N*（k+1））；

%p A:=（n，x）->`如果`（n=0，1，加（n（n，k）*x^k，k=0..n-1））；

%p seq（打印（seq（A（n，k），k=0..7）），n=0..7；

%p#按递归计算：

%p Prec:=proc（n，n，k）选项记忆；局部A、B、C、h；

%p如果n=0，则1 elif n=1，然后1+n+（1-n）*（1-2*k）

%p其他h:=2*N-N；A:=n*h*（1+n-n）；C:=n*（h+2）*（n-n）；

%p B:=（1+h-n）*（n*（1-2*k）*（1+h）+2*k*n*（1+n））；

%p（B*Prec（n-1，n，k）-C*Prec

%p T：=（n，k）->预处理（n，n，k，）/（n+1）；

%p seq（打印（seq（T（n，k），k=0..7）），n=0..7）；

%p#按o.g.f.列排列：

%p gf:=n->2/（平方英尺（（n-1）^2*x ^2-2*（n+1）*x+1）+（n-1）*x+1）：

%p表示n从0到11 do多项式工具：-系数列表（convert（series（gf（n），x，12），polynom），x）od；#_Peter Luschny_，2014年11月17日

%p#按线性递归排列的第n行：

%p rec:=n->a（x）=加（（-1）^（k+1）*二项式（n，k）*a（x-k），k=1..n）：

%p ini:=n->seq（a（k）=a（n，k），k=0..n）：#关于a，见上文

%p行：=n->gfun:-rectproc（{记录（n），ini（n）}，a（x），列表）：

%p代表n从1到7做第（n）（8）行od；#_Peter Luschny_，2014年11月19日

%t矩阵形式[表[JacobiP[n，1，-2*n-1,1-2*x]/（n+1），{n，0,7}，{x，0,7}]]

%t表[超几何2F1[1-k，-k，2，n-k]，{n，0,12}，{k，0，n}]//展平（*_G.C.格鲁贝尔，2021年2月16日*）

%o（鼠尾草）

%o def Narayana多项式（）：

%o R=多项式环（ZZ，'x'）

%o D=[1]

%o h=0

%o b=正确

%o为True时：

%o如果b：

%o对于范围（h，0，-1）内的k：

%o D[k]+=x*D[k-1]

%o h+=1

%o屈服R（展开（D[0]））

%o D.append（0）

%o其他：

%o对于范围（0，h，1）中的k：

%o D[k]+=D[k+1]

%o b=非b

%o NP=Narayana多项式（）

%对于范围（8）中的_，为o：

%o p=下一个（NP）

%o[p（k）代表范围（8）中的k]

%o（鼠尾草）

%o定义A243631（n，k）：如果n==0，则返回1（[0..n-1]中j的二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））

%o压扁（[[A243631（k，n-k）for k in[0..n]]for n in[0..12]]）#_G.C.Greubel_，2021年2月16日

%o（岩浆）

%o A243631:=func<n，k|n eq 0选择1 else（&+[二项式（n，j）^2*k^j*（n-j）/（n*（j+1））：[0..n-1]]中的j）>；

%o[A243631（k，n-k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n；//_G.C.Greubel，2021年2月16日

%Y参见A001263、A008550（镜子）、A204057（另一版本）、A242369（主对角线）、A099169（对角线的）、A307883、A336727。

%Y行[2-7]：A000027、A028387、A090197、A090198、A09199、A090200。

%Y列[1-7]：A000108、A001003、A007564、A059231、A078009、A078018、A081178。

%Y参考A132745。

%K nonn，表

%0、9

%A _彼得·卢什尼，2014年6月8日