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| A232681型 |
| 对n进行编号，使方程a^2+5*n*b^2=5*c^2+n*d^2对a，b，c，d没有正整数解。 |
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4
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2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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在n=2的情况下，方程a^2+10*b^2=2*d^2+5*c^2对于a、b、d、c没有正整数解，如下证明所示：假设gcd（a，b，d，c）=1，否则如果gcd（a，b，d，c）=g，那么a/g，b/g，d/g，c/g将是方程的较小解集。考虑到模5运算，我们有一个^2-2*d^2==0（模5）。因为一个正方形总是与0（mod 5）、1（mod五）或4（mod五常同余，所以只有当a==0（mod5）和d==0。现在让a=5*p，d=5*q，那么a^2=25*p^2，d^2=25*q^2。将其代入方程a^2+10*b^2=2*d^2+5*c^2，得到25*p^2+10*b^2=50*q^2+5*c^ 2，即5*p^2+2*b^ 2=10*q^2+c^2。再次用这个方程进行模5运算，得到2*b^2-c^2==0（mod 5）。通过使用与上述相同的参数，当且仅当b==0（mod 5）和c==0。我们已经证明了a==0（mod 5）和d==0，因此gcd（a，b，d，c）应该是5的倍数。这与我们的假设相矛盾，即gcd（a，b，d，c）=1和a/5，b/5，d/5，c/5是上述方程的较小解集。通过使用无穷下降的证明，这意味着（a，b，d，c）的唯一可能解集是（0，0，0）。
如果a^2-n*d^2==0（mod 5）的唯一解是a==0（mod 5）和d==0（mod 5），我们可以通过取模5算术来类似地证明n的其他值。如果n==2,3（mod 5），就会发生这种情况。
另一方面，如果我们采用模n算法，并且如果a^2-5*d^2==0（modn）有唯一的解a==0。如果r是n的素因子，并且r^2不除n，并且方程a^2-5*d^2==0（modr）有唯一的解a==0和d==0，我们也可以采用模r算法来证明n是这个序列的一个成员。
如果n=5*k是5的倍数，而不是25的倍数，则取模5的算术结果为“a”是5的整数倍。设a=5*p，将方程除以5，得到5*（p^2+k*b^2）=（c^2+k*d^2）。这个方程在正整数p，b，c，d中没有解，当且仅当没有数字可以用形式x^2+k*y^2写，这是另一个可以用相同形式x^2+k*y ^2写的数字的5倍。
如果n是25的倍数，那么当且仅当m是该序列的成员时，n=25*m是该列的成员。
这是对A031363号证明：根据名称中的等式，后面是a^2-5c^2=n（d^2-5b^2）。如果n的形式为x^2-5y^2，则该方程具有正整数解，因为A031363号在乘法下关闭。如果方程没有正整数解，那是因为n不是A031363号因此，n属于有待证明的当前序列。这个序列不包含平方，但一个项的所有奇数幂都属于这个序列-克劳斯·普拉斯2023年7月31日
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链接
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例子
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n=2是这个序列的成员，因为没有正整数m可以同时写为x^2+10*y^2和5*x^2+2*y^ 2。前者要求m的{2,5,7,13,23,37}模40素因子之和为偶数，而后者要求m的}2,5,7，13,23,37模40素因数之和为奇数。
n=3是这个序列的成员，因为没有正整数m可以同时写为x^2+15*y^2和5*x^2+3*y^ 2。前者要求m的{2,3,5,8}模15素因子之和为偶数，而后者要求m的}2,3,5，8}模型15素因子的和为奇数。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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