%I#7 2013年12月25日02:22:39

%S-4,1、-2,1、-1,1,2、-4,1,1、-3,1,1，-4,1，-1,6，-5,1,2，-16,20，-8,1，-1，-9，-6，

%T 1,1，-12,19，-8,1，-1,15，-35,28，-9,1,1，-16,20，-8,1,1、-21,70，-84,45，-11，

%U 1,1、-24,86、-104,53、-12,1,1、-24,16、-9,1,2、-64336、-672660、-352104、-16,1,1，-36210、-462495、-286,91、-15,1

%s（2*l）^2=（2*sin（Pi/（2*1）））^2的最小多项式的系数表。

%C本表第1行的长度为delta（l）+1=A055034（l）+1，l>=1，即：2，2，3，3，4，5，4，5，6，5，7，7，5。。。

%Cs（n）：=2*sin（Pi/n）是内切在半径R的圆中的正n边的长度比边/R（以某些长度单位表示）。一般情况下，s（n）^2=4-rho（n）~2，其中rho（n）：=2*cos（Pi/n），正则n-gon（n>=2）中的长度比（最小对角线）/s（n）。如果n是偶数，比如2*l，l>=1，那么s（2*l）^2=2-rho（l）（因为rho（2*1）^2=rho（l）+2）。因此s（2*l）是代数数域Q（rho（l））中的整数。

%C它的（一元）极小多项式是由rho（l）的共轭得到的，称为rho（1；j），j=1，2。。。，delta（l），是度delta（1）=A055034（l）的rho（l）=rho（1；1）的最小多项式的零点，在A187360中称为C（l，x）。因此，这些共轭项为rho（l；j）=2*cos（Pi*rpnodd（l，j）/l），其中rpnodd（1，j）是奇数<l的列表rpnodd-（l）的第j个条目，这些奇数<1相对素数为l（例如，rpnodd-[9）=[1,5,7]，rpnotd（9,2）=5）。由此s（2*l）^2的共轭变为2-rho（l；j），s（2*1）^2最小多项式为MPs2（l，x）=乘积（x-（2-rho。因为C（l，x）的零是代数数域Q（rho（l））中的整数，写在它的幂基中（见A187360下与Q（2cos（Pi/n））论文的链接的表4），所以在对rho（l）模C（l，rho（l））的幂进行扩展和减少之后，可以直接找到适用于这个（monic）最小多项式的整数系数。只需要方程C（l，rho（l））=0，而不需要rho（l）及其幂的三角形式。

%C本次计算的动机是S.Mustonen、P.Haukkanen和J.K.Merikoski的预印本，名为“与正多边形的平方对角线相关的多项式”，2013年11月16日。

%F a（l，m）=[x^m]MPs2（l，x），l>=1，m=0，1。。。。，delta（l），具有（2*sin（Pi/（2*l）））^2的最小多项式MPs2（l，x），如上文注释所示。度增量（l）=A055034（l）。

%e表a（l，m）开始（n=2*l）：

%e n，l \m 0 1 2 3 4 5 6。。。

%e 2，1：-4 1

%e 4、2：-2 1

%e 6、3：-1 1

%e八、四：2-4 1

%e 10，5:1-3 1

%e 12，6:1-4 1

%e 14，7:-1 6-5 1

%e 16，8:2-16 20-8 1

%e 18、9：-1 9-6 1

%e 20，10:1-12 19-8 1

%e 22，11:-1 15-35 28-9 1

%e 24，12:1-16 20-8 1

%e 26、13：1-21 70-84 45-11 1

%e 28、14：1-24 86-104 53-12 1

%e 30，15：1-24 26-9 1

%e。。。

%e s（10）^2=（2*sin（Pi/10））^2=2-rho（5）的最小多项式是MPs2（5，x）=乘积（x-（2-rho（5；j）），j=1..2）=（x-（2-phi））*（x-（2-（1-phi））），其中rho（5）=phi是满足C（5，phi）=phi^2-phi-1=0的黄金分割，

%因此，MPs2（5，x）=2+φ-φ^2-3*x+x^2=1-3*x+x^2。

%e行n=26使用WolframAlpha的最小多项式[（2*sin（Pi/26））^2，x]=1-21x+70x^2-84x^3+45x^4-11x^5+x^6进行检查。

%t压扁[系数列表[表[最小多项式[（2*Sin[Pi/（2*l）]）^2，x]，{l，1，17}]，x]]（改编自Jean-François Alcover，A187360）-_Wolfdieter Lang_，2013年12月23日

%Y参见A232632（奇数n）、A232633（全部n）、A055034（度）。

%K符号，标签，简单

%O 1,1号机组

%《狼的语言》，2013年12月18日